第四节 二次函数的图象与性质姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2022·宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2022·山西)用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )A．y＝(x－4)2＋7B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7D．y＝(x＋4)2－253．(2022·廊坊安次区一模)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y＝－的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为( )A．y＝x2－x－2B．y＝x2－x＋2C．y＝x2＋x－2D．y＝x2＋x＋24．(2022·黄冈)当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )A．－1B．2C．0或2D．－1或25．(2022·杭州)四位同学在研究函数y＝ax2＋bx＋c(b，c是常数)时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A．甲B．乙C．丙D．丁第6题图6．(2022·秦皇岛海港区一模)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①b2－4ac＞0；②4a－2b＋c＜0；③3b＋2c＜0；④m(am＋b)＜a－b(m≠－1)，其中正确结论的个数是( )7\nA．4个 B．3个C．2个 D．1个7．(2022·原创)对于抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列说法错误的是( )A．若顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根B．若抛物线经过原点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有一根为0C．若ab＞0，则抛物线的对称轴必在y轴的左侧D．若2b＝4a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有一根为－28．(2022·保定莲池区模拟)二次函数y＝x2＋bx－1的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2－2x－1－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数解，则t的取值范围是( )A．t≥－2 B．－2≤t＜7C．－2≤t＜2 D．2＜t＜79．(2022·石家庄裕华区一模)如图，是反比例函数y＝(x>0)的图象，阴影部分表示它与横纵坐标轴正半轴围成的区域，在该区域内(不包括边界)的整数点个数是k，则抛物线y＝－(x－2)2－2向上平移k个单位后形成的图象是( )7\n10．(2022·唐山路北区一模)已知二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝________．11．若A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是____________．(用<号连接)12．(2022·原创)已知抛物线y＝(x－1)2＋c过点(2，－1)，将其向左平移4个单位，则所得新抛物线的解析式为________．13．(2022·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上，过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1，则A′C的长为________．14．(2022·遵义)如图，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE＋DF的最小值为________．7\n15．(2022·云南)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)、B(－4，－)两点．(1)求b、c的值；(2)二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由．16．(2022·杭州)设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．(1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数，说明理由；(2)若该二次函数的图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，求证：a>0.1．(2022·陕西)已知抛物线y＝x2－2mx－4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′.若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为( )A．(1，－5)B．(3，－13)C．(2，－8)D．(4，－20)2．(2022·贵阳)已知二次函数y＝－x27\n＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是( )A．－＜m＜3B．－＜m＜2C．－2＜m＜3D．－6＜m＜－23．(2022·原创)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点(x1，0)与(x2，0)，其中x1＜x2，方程ax2＋bx＋c－a＝0的两根分别为m，n(m＜n)，则下列判断正确的是( )A．m＜n＜x1＜x2B．m＜x1＜x2＜nC．x1＋x2＞m＋nD．b2－4ac≥04．(2022·原创)已知抛物线y＝ax2与线段AB无公共点，且A(－2，－1)，B(－1，－2)，则a的取值范围是________．5．(2022·邢台三模)已知抛物线y＝ax2－ax－2a(a为常数且不等于0)与x轴交于A，B两点，且点A在点B的右侧．(1)当抛物线经过点(3，8)时，求a的值；(2)求A、B两点的坐标；(3)若抛物线的顶点为M，且点M到x轴的距离等于AB的3倍，求抛物线的解析式．参考答案【基础训练】1．A 2.B 3.A 4.D 5.B 6.B 7.A 8.B 9.A10．－1 11.y2＜y1＜y3 12.y＝x2＋6x＋7 13.3 14.15．解：(1)将点A(0，3)，B(－4，－)代入二次函数y＝－x2＋bx＋c得，解得.(2)由(1)知二次函数解析式为y＝－x2＋x＋3，7\n令－x2＋x＋3＝0，整理得，x2－6x－16＝0，解得x1＝－2，x2＝8，即抛物线与x轴有两个不同的公共点，坐标分别为(－2，0)，(8，0)．16．(1)解：∵Δ＝b2＋4a(a＋b)＝b2＋4ab＋4a2＝(b＋2a)2，∴当b＋2a＝0时，Δ＝0，图象与x轴有一个交点；当b＋2a≠0时，Δ>0，图象与x轴有两个交点；(2)解：∵当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0，∴图象不可能过点C(1，1)，∴函数的图象经过A(－1，4)，B(0，－1)两点．代入可得，解得.∴该二次函数的表达式为y＝3x2－2x－1.(3)证明：∵点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，∴m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b>0.又a＋b<0，∴(3a＋b)－(a＋b)>0，整理得2a>0，∴a>0.【拔高训练】1．C 2.D 3.B 4.a<－2或－<a<0或a＞05．解：(1)∵抛物线y＝ax2－ax－2a经过点(3，8)，∴8＝a(9－3－2)，∴a＝2.(2)∵a(x2－x－2)＝0，a≠0，∴x2－x－2＝0，解之得，x1＝2，x2＝－1，∴A(2，0)，B(－1，0)．(3)∵抛物线y＝a(x2－x－2)＝a(x－)2－a，∴顶点M的坐标为(，－a)．∵A(2，0)，B(－1，0)，∴AB＝3，由题意得，|－a|＝3×3，∴a＝±4，∴抛物线为y＝4x2－4x－8或y＝－4x2＋4x＋8.7\n7
