课时训练(三十) 尺规作图(限时:30分钟)|夯实基础|1.在以下三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD平分∠BAC的是( )图K30-1A.②B.①和②C.①和③D.②和③2.如图K30-2,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边于点D.则∠ADC的度数为( )图K30-2A.40°B.55°C.65°D.75°9\n3.如图K30-3,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,分别以A,C为圆心,以大于12AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN交AD于点E,交BC于点F,则△CDE的周长是( )图K30-3A.7B.10C.11D.124.[2022·襄阳]如图K30-4,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,以点C为圆心,CB长为半径作弧,交AB于点D;再分别以点B和点D为圆心,大于12BD的长为半径作弧,两弧相交于点E;作射线CE交AB于点F.则AF的长为( )图K30-4A.5B.6C.7D.85.任意一条线段EF,其垂直平分线的尺规作图痕迹如图K30-5所示.若连接EH,HF,FG,GE,则下列结论中,不一定正确的是( )图K30-5A.△EGH为等腰三角形B.△EGF为等边三角形C.四边形EGFH为菱形D.△EHF为等腰三角形9\n6.[2022·山西]如图K30-6,直线MN∥PQ.直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;②分别以C,D为圆心,以大于12CD长为半径作弧,两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE交PQ于点F.若AB=2,∠ABP=60°,则线段AF的长为 . 图K30-67.[2022·孝感]如图K30-7,△ABC中,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:①作∠BAC的平分线AM交BC于点D;②作边AB的垂直平分线EF,EF与AM相交于点P;③连接PB,PC.图K30-7请你观察图形解答下列问题:(1)线段PA,PB,PC之间的数量关系是 ; (2)若∠ABC=70°,求∠BPC的度数.9\n8.[2022·常州](1)如图K30-8①,已知EK垂直平分BC,垂足为D,AB与EK相交于点F,连接CF.求证:∠AFE=∠CFD.(2)如图②,在Rt△GMN中,∠M=90°,P为MN的中点.①用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹,不要求写作法).②在①的条件下,如果∠G=60°,那么Q是GN的中点吗?为什么?图K30-8|拓展提升|9.[2022·河南]如图K30-9,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上,按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于12DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为( )9\n图K30-9A.(5-1,2)B.(5,2)C.(3-5,2)D.(5-2,2)10.在数学课上,老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形”.小华的作法如下:(1)如图K30-10①,任取一点O,过点O作直线l1,l2;(2)如图②,以O为圆心,任意长为半径作圆,与直线l1,l2分别相交于点A,C,B,D;(3)如图③,连接AB,BC,CD,DA.四边形ABCD即为所求作的矩形.图K30-10老师说:“小华的作法正确”.请回答:小华的作图依据是 . 11.[2022·青岛]已知:如图K30-11,∠ABC,射线BC上一点D.求作:等腰三角形PBD,使线段BD为等腰三角形PBD的底边,点P在∠ABC内部,且点P到∠ABC两边的距离相等.图K30-119\n9\n参考答案1.C [解析]根据基本作图可判断图①中AD为∠BAC的平分线,图②中AD为BC边上的中线,图③中AD为∠BAC的平分线.故选C.2.C [解析]根据作图方法可得AG是∠CAB的平分线,∵∠CAB=50°,∴∠CAD=12∠CAB=25°,∵∠C=90°,∴∠CDA=90°-25°=65°,故选C.3.B [解析]利用作图得MN垂直平分AC,∴EA=EC,∴△CDE的周长=CE+CD+ED=AE+ED+CD=AD+CD,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC=6,CD=AB=4,∴△CDE的周长=6+4=10.故选B.4.B [解析]在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,∴AC=BCtanA=433=43.由作图可知,CF⊥AB,∴AF=AC·cos30°=43×32=6.5.B6.23 [解析]过点A作AG⊥PQ交PQ于点G,由作图可知,AF平分∠NAB.∵MN∥PQ,AF平分∠NAB,∠ABP=60°,∴∠AFG=30°,在Rt△ABG中,∠ABP=60°,AB=2,∴AG=3.在Rt△AFG中,∠AFG=30°,AG=3,∴AF=23.7.解:(1)线段PA,PB,PC之间的数量关系是:PA=PB=PC(或相等).(2)∵AM平分∠BAC,AB=AC,∠ABC=70°,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=90°-∠ABC=20°.9\n∵EF是线段AB的垂直平分线,∴PA=PB,∴∠PBA=∠PAB=20°.∵∠BPD是△PAB的外角,∴∠BPD=∠PAB+∠PBA=40°.∴∠BPD=∠CPD=40°.∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=80°.8.解:(1)证明:∵EK垂直平分BC,点F在EK上,∴FC=FB,且∠CFD=∠BFD,∵∠AFE=∠BFD,∴∠AFE=∠CFD.(2)①如图所示,点Q为所求作的点.②Q是GN的中点.理由:∵∠G=60°,∠GMN=90°,∴∠GNM=30°.连接HN,HP,由①作图可知,PN=HN,∠HNG=∠GNP=30°,可得△HPN为等边三角形.又∵P为MN的中点,∴HP=PN=PM,∴∠QMN=30°=∠QNM,∴MQ=QN,∠GQM=60°,∠GMQ=60°,∴△GMQ为等边三角形,因而MQ=GQ,∴GQ=QN,即Q为GN的中点.9.A [解析]如图,作AM⊥x轴于点M,GN⊥x轴于点N,设AC交y轴于点H.9\n由题意知OF平分∠AOB,即∠AOF=∠BOF.∵四边形AOBC是平行四边形,∴AC∥OB,∴AM=GN,∠AGO=∠GOE,∴∠AGO=∠AOG,∴AO=AG.∵A(-1,2),∴AM=2,AH=MO=1,∴AO=5,∴AG=AO=5,GN=AM=2,∴HG=AG-AH=5-1,∴G(5-1,2),故答案为A.10.过圆心的弦为直径,直径所对的圆周角为直角;三个内角都为直角的四边形为矩形.11.解:作图如下:9
