第20讲 平行四边形与多边形重难点1 与平行四边形性质有关的计算 在▱ABCD中，AD＝10，AB＝7.(1)如图1，∠BCD的平分线CE交AD于点E，则AE＝3；(2)在(1)的条件下，若∠CED＝65°，则∠A＝130°；图1 图2 图3(3)在(1)的条件下，延长CE交BA的延长线于点F，如图2所示，则AE＋AF的值等于6；(4)如图3，若BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，则EF的长为4．【拓展问题】 问题(4)中，CE与BF的位置关系是垂直．利用平行四边形的性质进行相关计算，一般运用平行四边形性质转化角度或线段之间的等量关系：(1)对边平行可得相等的角，进而得到相似三角形；(2)对边相等、对角线互相平分可得相等的线段；(3)当有角平分线的条件时，可利用“平行＋角平分线⇒等腰三角形”的结论得到等角、等边．如：例1，图1中△CED，图2中△BCF，△CED均是等腰三角形．(4)①当有一条线段过对角线的交点和一边的中点时，可利用三角形中位线的性质进行计算．如：例2中OE是△BCD或△ACD的中位线．②当有一条线段过对角线的交点且与其中的一条对角线垂直时，得到线段的垂直平分线、等腰三角形，进而可以用线段垂直平分线、等腰三角形的性质进行计算．如：例2中拓展问题2，OF是线段AC的垂直平分线，△AFC是等腰三角形．平行四边形中常涉及整体思想，如▱ABCD，已知AB＋BC的长，则C▱ABCD＝2(AB＋BC)．【变式训练1】 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上的一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，且AD＝5cm，AP＝8cm，则∠APB＝90°，DC＝10cm，△APB的周长是24cm.【变式训练2】 在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝8或3． 如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，且DE＋EO＝4，则▱ABCD的周长为(B)A．20B.16C.12D．8 图1 图2【拓展问题1】 如图1，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为40°．【拓展问题2】 如图2，OF⊥AC，交AD于点F，连接CF.若△CDF的周长是8，则▱ABCD的周长是16．重难点2 平行四边形的性质与判定的综合7\n 如图1，点E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，AE＝CF. 图1 图2 图3(1)①求证：DF＝BE；②如图2，连接DE，BF，求证：四边形DFBE是平行四边形．(请至少用两种判定方法证明)(2)如图3，若BE⊥AC，DF⊥AC，延长BE，DF分别交CD，AB于点N，M.①求证：四边形DMBN是平行四边形；②已知CE＝4，FM＝3，求AM的长．【自主解答】 解：(1)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC.∴∠DAF＝∠BCE.∵AE＝CF，∴AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE.∴△ADF≌△CBE.∴DF＝BE.②解法1：已证△ADF≌△CBE，∴∠AFD＝∠CEB.∴∠DFC＝∠BEA.∴DF∥BE.又∵DF＝BE，∴四边形DFBE是平行四边形．解法2：同(1)①中的方法可证△CDE≌△ABF.∴DE＝BF.又∵DF＝BE，∴四边形DFBE是平行四边形．解法3：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形．∴DO＝OB，AO＝OC.又∵AE＝CF，∴AE－AO＝CF－OC，即OE＝OF.∴四边形DFBE是平行四边形．(2)①证明∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴四边形DMBN是平行四边形．②∵四边形DMBN是平行四边形，∴DN＝BM.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB.∴CN＝AM.∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC.又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠CEN＝∠AFM＝90°.7\n∴△AFM≌△CEN.∴AF＝CE＝4.在Rt△AFM中，AM＝＝5.判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 【变式训练3】 (2022·永州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．解：(1)证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°.在等边△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°.∴BC∥AD.在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，∴CE＝AE＝BE.∴∠EAC＝∠ECA＝30°.∴∠BEC＝∠EAC＋∠ECA＝60°.又∵∠ABD＝60°，∴CF∥BD.∴四边形BCFD是平行四边形．(2)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3.∴S▱BCFD＝3×3＝9.考点1 多边形1．(2022·福建)一个n边形的内角和为360°，则n等于(B)A．3B．4C．5D．62．(2022·菏泽)若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是8．3.(2022·宿迁)一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是8.47\n．(2022·山西)图1是古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°． 图1 图25．(2022·陕西)如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为72°．6.(2022·聊城)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是360°或540°．考点2 平行四边形的性质7．(2022·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)A．14B．13C．12D．108．(2022·台州)如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3.以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是(B)A.B．1C.D.9．(2022·兰州)如图，将▱ABCD的对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为(B)A．102°B．112°C．122°D．92°10．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数是110°．7\n11．(2022·临沂)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝4.12.(2022·大连)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：BE＝DF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AF＝CE，∴OE＝OF.在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO(SAS)．∴BE＝DF.13．(2022·曲靖)如图，在▱ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连接AN，CM.(1)求证：△AFN≌△CEM；(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB.∴∠AFN＝∠CEM.∵FN＝EM，AF＝CE，∴△AFN≌△CEM(SAS)．(2)∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF＝∠ECM.∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，7\n∴107°＝72°＋∠ECM.∴∠ECM＝35°.∴∠NAF＝35°.考点3 平行四边形的判定14．(2022·呼和浩特)顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD；②DC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D.四个条件中任取两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有(C)A．5种B．4种C．3种D．1种15．(2022·岳阳)如图，在▱ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD.又∵AE＝CF，∴BE＝DF.∴BE∥DF且BE＝DF.∴四边形BFDE是平行四边形．16．(2022·济宁)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，则∠P的度数是(C)A．50°B．55°C．60°D．65°17．(2022·通辽)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE.下列结论：①S▱ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE.其中正确的个数有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个18．(2022·哈尔滨)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，点F分别是OA，OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN＝，则该线段BC的长为4．7\n19．(2022·兰州)如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF.(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；(2)若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．解：(1)证明：∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠FAC.又∵E是AC的中点，∴AE＝EC.在△CDE和△AFE中，∴△CDE≌△AFE(ASA)．∴CD＝AF.又∵CD∥AB，∴四边形AFCD是平行四边形．(2)∵AB∥CD，∴＝，即＝.解得DC＝.∴AB＝AF＋BF＝CD＋BF＝＋＝6.7
