知识点24：平行四边形（含矩形、菱形和正方形）一、选择题1.（2022·江苏省苏州市一模，9，3）△ABC与□DEFG如图放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上，已知BE＝DE，CF＝FG，则∠A的度数()A．等于80°B．等于90°C．等于100°D．条件不足，无法判断【答案】B2.（2022·广东省佛山市一模，8，3）如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标是(4,0),点P为边AB上一点,∠CPB=,沿CP折叠正方形,折叠后,点B落在平面内处,则的坐标为A.B.C.D.【答案】C3.（2022广东省中山市一模，10，4）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（▲）ADEPBCA．B．C．3D．【答案】A4.（2022湖北省恩施州一模，5，3）【答案】【答案】A109\n5.（2022·江苏省昆山市一模，9，3）．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是【答案】（第10题图）6.（2022·山东省济南市一模，10，3）已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G绕，EG绕E瞬时间旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．B．C．D．【答案】7.（2022山东省济南市一模，11，3）在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE:EC=1：2，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则（）A．1：3：9B．1：5：9C．2：3：5D．2：3：9【答案】A8.（2022·广东省深圳市一模，9，3）在小正方形组成网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，如图所示.则下列结论错误的是A．AD//BCB．DC=ABBACBDC．四边形ABCD是菱形；D．将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合109\n【答案】C9.（2022·河北省石家庄市一模，5，2）如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是（）A、BA=BCB、AC、BD互相平分C、AC⊥BDD、AB∥CD【答案】B10．图2，四边形ABCD中，E是BC的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．下列条件中正确的是（）A．AD=BCB．CD=BFC．∠F=∠CDED．∠A=∠C图2EBAFCDABC15°PABC15°P图3123图1图41122331【答案】ABCMN图711.DE如图7，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN，若MN的长为13cm，则CE的长为（）A．6B．7C．8D．10【答案】12.（2022·江苏省泰安市一模，9，3）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是①②3410A．2＋B．2＋2C．12D．18109\n【答案】B13.（2022·江苏省泰安市一模，15，3）如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为A．B．C．D．1【答案】B14.（2022·福建省漳州市一模，7，3）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，周长为40，两邻边的比是3∶2，则较大边的长度是（ ）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】15.（2022·浙江省一模，9，3）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则tan∠EAB的值是（）09广西崇左改编A.B.C.D.【答案】B16.（2022·浙江省一模，10，3）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．（第10题图）ABCDFOGHE则以下四个结论中正确结论的个数为（）BBS习题改编①OH＝BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④DH2＝HE·HBA.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C17.（2022·重庆市一模，5，4）如图，以正方形的边为直径作⊙O,过点作直线切⊙O于点,交边于点.则三角形和直角梯形周长之比为()A.3:4B.4:5C.5:6D.6:7【答案】A109\n18.（2022·重庆市一模，9，4）如图，已知菱形ABCD的边长为2㎝，∠A=60°，点M从点A出发，以1㎝／s的速度向点B运动，点N从点A同时出发，以2㎝／s的速度经过点D向点C运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．则△AMN的面积(㎝2)与点M运动的时间(s)的函数的图像大致是()MN·ABCD·O12O2O12ABCDO12【答案】A19.（2022·重庆市一模，10，4）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处．设AE=，AB=，BF=，下列结论：①B′E=BF；②四边形B′CFE是平行四边形；③a2+b2=c2；④△A′B′E∽△B′CD；其中正确的是()A．②④ B．①④ C．②③ D．①③【答案】D20．（2022·重庆市一模，9，4）．如图，菱形ABCD中，∠A＝600，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C→D向终点D运动．同时动点Q从点A出发，以相同的速度沿A→D→B向终点B运动，运动的时间为秒，当点P到达点D时，点P、Q同时停止运动，设△APQ的面积为，则反映与的函数关系的图象是()ABCD109\n【答案】A21.（2022·湖北省荆州市一模，8，3）.某个长方体主视图是边长为1cm的正方形．沿这个正方形的对角线向垂直于正方形的方向将长方体切开，截面是一个正方形．那么这个长方体的俯视图是（）【答案】D22.（2022·江西省一模，4，3）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC⊥BD时，它是菱形C.当∠ABC=900时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形【答案】D23.（2022·江西省三模，8，3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点F在DC边上运动，连结AF，过点B作BE⊥AF于E，设BE＝y，AF＝x，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）图3ABCD【答案】C24.（2022·江西省三模，7，3）如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．【】（A）144° （B）126°（C）108°（D）72°【答案】B25.（（2022·江西省一模，7，3）第7题图ABCDA1D1如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状，得到□A1BCD1，若□A1BCD1的面积是矩形ABCD面积的一半，则∠ABA1的度数是109\nA．15°B．30°C．45°D．60°【答案】D26．（2022·江西省四模，7，3）已知：如图，点是正方形的对角线上的xy0Bxy0Dxy0Ayx0C一个动点(、除外)，作于点，作于点，设正方形的边长为，矩形的周长为，在下列图象中，大致表示与之间的函数关系的是PDABCCEF第8题图×【答案】B27.（2022·上海市二模，6，4）ABFCDEO如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，那么等于（）第6题图A．；B．；C．；D．．【答案】D28.（2022·江苏省南京市一模，6，2）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为(▲)A．1B．2C．2D．12(第6题)(第5题)【答案】C29.（2022·江苏省南京市雨花区一模，5，2）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是A．（3，1） B．109\nC．D．（1，3）（第5题）【答案】B30.（2022·江苏省南京市下关区一模，6，2）．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为(▲)A．1B．2C．2D．12(第6题)(第5题)【答案】C31.（2022·北京市东城区一模，8，4）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AB、AD的中点.动点从点B出发，沿B→C→D→F方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，当取到最大值时，点应运动到A．的中点处B．点处C．的中点处D．点处【答案】B32.（2022·北京市海淀区一模，6，4）如图，中，AB=10，BC=6，E、F分别是AD、DC的中点，若EF=7，则四边形EACF的周长是A．20B．22C．29D．31【答案】C33.（2022·北京市门头沟区一模，4，4）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，点E、F分别是OD、OC的中点．如果AC=10，BC=8，那么EF的长为A．6B．5C．4D．3【答案】D34.（2022·北京市密云县一模，8，4）109\n如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2022个小正方形，则需要操作的次数是A.669B.670 C.671D.672【答案】B35.（2022·北京市延庆县一模，5，4）如图是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则的长是A．B．C．D．【答案】A36.（2022·江苏省常熟市一模，8，3）如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝，则下列结论：①DE＝3cm；②EB＝1cm；③S菱形ABCD＝7.5cm2；④cos∠CDB＝．其中正确结论的个数有A．4个B．3个C．2个D．1【答案】B37.（2022·江苏省如皋市一模，8，3）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形【答案】D38.（2022·江苏省宜兴市一模，7，3）下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．两组对边分别相等【答案】C39.（2022·江苏省宜兴市一模，10，3）矩形ABCD中，．动点E从点C开始沿边CB向点以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）109\n【答案】A40.（2022·江西省高安市一模，4，3）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC⊥BD时，它是菱形C.当∠ABC=90°时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形【答案】D41.（2022·江西省高安市一模，8，3）.如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点处.若，则的度数为（）A．B.C.D.【答案】B42.（2022·山东省潍坊市一模，7，4）如图2，四边形ABCD中，E是BC的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．下列条件中正确的是（）A．AD=BCB．CD=BFC．∠F=∠CDED．∠A=∠C【答案】C43.（2022·辽宁省大连市一模，7，3）如图4，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF＝3，AE＝5，则AD等于ABCDEF图4A．5B．6C．7D．8【答案】C44.（2022·江苏省靖江市一模，8，3）在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长为A.8B.9.5C.10D.11.5【答案】A45.（2022·河北省石家庄市一模，7，2）如图2，四边形ABCD中，E是BC的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．下列条件中正确的是（）A．AD=BCB．CD=BFC．∠F=∠CDED．∠A=∠C【答案】CABCMN图746.（2022·河北省石家庄市一模，12，2）DE如图7，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN，若MN的长为13cm，则CE的长为（）A．6B．7C．8D．10【答案】B109\nABEDC图247（2022·××省清远市二模，7，3）如图2，在四边形ABCD中，∥，∥，点E在AB的延长线上，若，则()．A.B.C.D.【答案】B48（2022·广东省四会市一模，7，3）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A．10B．12C．16D．20【答案】D49（2022·海南省海口市一模，13，3）如图6，在□ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE＝1，则AB的长是（）AOBCDE图6A．1B．2C．D．4【答案】B50（2022·河南省中招三模，5，3）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(2，0)，点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，ABCP60°B’yOx(第5题)则B′点的坐标为（）A.（1，）B.（1,2-）C.(2,-1)D.(,2-)×【答案】B51（2022·河南省中招一模，6，3）设矩形ABCD的周长为4，以AB为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有（）A、最小值4πB、最大值4πC、最大值2πD、最小值2π【答案】C52（2022·湖北省黄冈市三模，16，3）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（ ） 123412ysO123412ysOs123412ysO123412yOA.B.C.D.109\n【答案】D53（2022·湖南省长沙市一模，8，3）8题图如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为A.3B.4C.5D.6【答案】C54（2022·湖北省黄冈市黄州区一模，13，3）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（）【答案】55（2022·江苏省南京市一模，5，2）【答案】D56（2022·江苏省扬州市一模，4，3）已知□ABCD.下列结论中，不正确的是A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC=BD时，它是正方形D．当∠ABC=900时，它是矩形【答案】C57（2022·江苏省苏州市一模，8，3）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是()A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm109\n【答案】A58（2022·江苏省盐城市一模，8，3）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）第8题图ABCDFOGHE①OH＝BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④DH2＝HE·HBA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C59（2022·江西省四模，6，3）将矩形纸片对折,使点B与点D重合,折痕为,连结,则与线段相等的线段条数（不包括BE，不添加辅助线）有()A.1B.2C.3D.4ABCDEF第6题PAOB第7题【答案】B60（2022云南省玉溪市一模，7，3）如图，菱形由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，ABCD第7题图则线段的长为 （）．3．6．．【答案】D61（2022浙江省杭州市二模，10，分值）下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF＝BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交109\nCE于N，连OH.下列结论中：①BF⊥CE；②OM＝ON；③；④.其中正确的命题有（）(第10题图)A．只有①②B．只有①②④C．只有①④D．①②③④【答案】B62（2022浙江省宁波市一模，5，3）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（▲）A．对角相等B.对角线相等C．邻角互补D．内角和是【答案】B63（2022·浙江省宁波市一模，9，3）如图，菱形ABCD的周长为20cm，sin＝，DE⊥AB于点E，下列结论中：①＝15cm2；②BE＝1cm；③AC＝．正确的个数为（▲）（第9题图）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D64（2022·××省重庆市一模，10，4）如图，正方形中，为的中点，于，交于点，交于点，连接、。有如下结论：①；②；③；④；⑤。其中正确的结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C65（2022·河南省中招市六模，5，3）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．2D．【答案】A66（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】62（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】62（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】62（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】二、填空题109\n1.（2022·甘肃省酒泉市一模，7，3）某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为1.2米，体积为1.2立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为米。【答案】12.（2022·广东省中山市一模，13，5）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是 ．ＡDFCBE（第13题）图）【答案】163.（2022河南省一模，10，3）如图，在□ABCD中，AD=8cm，CD=6cm，∠BAD的平分线与BC边相交于点E，则EC等于_______cm．输入x2x2–9（第9题）是否输出结果>0（第10题）ADBCE【答案】24.（2022河南省一模，14，3）如图，在矩形ABCD纸片中，AD=4，CD=3．限定点E在边AB上，点F在边BC上，将△BEF沿EF翻折后叠合在一起，则点B距点A的最小距离是___________．（第11题）ABCO·DE（第14题）ADBCEF（第15题）ABCD【答案】15.（2022河南省郑州市一模，10，3）如图，□ABCD的对角线、相交于点，点是的中点，的周长为16cm，则的周长是cm．ACDBEO109\n【答案】86．（2022湖北省恩施州一模，16，3）【答案】7.（2022·广东省江门市一模，8，4）如图3，在矩形中，，，则矩形的对角线．【答案】图48.（2022·广东省江门市一模，10，4）如图4，顺次连接边长为的正方形各边中点得正方形，顺次连接正方形各边中点得正方形，以此下去……，则正方形的面积为．【答案】（或）AEACABADAOA（第20题图）FA9.（2022山东省济南市一模，20，4）．如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE∶EA=5∶3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，则（1）AB=▲，BC=▲；（2）若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积=▲．109\n【答案】10．（2022·河北省石家庄市一模，14，3）如图，在ABCD中，AD=10，AB=6，AE平分∠BAD交BC边于点E,则EC=15、若a,b互为相反数，c,d互为倒数，则【答案】11.矩形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图10所示放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线(k＞0)和x轴上，若点B1(1，2)，B2(3，4)，则Bn的坐标是_．【答案】12.（2022·浙江省余姚市一模，18，3）【答案】5.513.（2022·浙江省一模，15，分值）按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的面积为．109\n【答案】5014.（2022浙江省一模，16，4）边长为1的正方形OABC的顶点A在X轴的正半轴上，如图将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a<0）的图像上，则a的值为___________.【答案】15.（2022·江西省二模，16，3）如右上图正方形ABCD中，EF分别是AD、BC上的一点，若补充一个条件，可使结论BE=DF成立，则下列补充的条件：①AE=CF②BE∥DF③∠AEB=∠CFD④AE=DE⑤，其中符合要求的序号是【答案】①②③⑤16.（2022·江西省三模，16，3）如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：①EC=BD；②GD=GH；③S△CDG=S四边形DHGE；④△BDH∽△BGD，⑤图中有8个等腰三角形。其中正确的是(填序号）【答案】①②③④109\n17.（2022·浙江省宁波市一模，16，3）如图,在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3cm，那么菱形ABCD的周长是▲cm．第16题图【答案】2418．（2022·上海市二模，15，4）如图1，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是 ▲ ．图1m+3m3【答案】2m+319.（2022·江苏省南京市一模，11，2）如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD，点O是两条对角线的交点，OD＝2，则AB＝▲cm．(第10题)(第11题)【答案】320.（2022·江苏省南京市一模，15，2）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是▲．【答案】4＋4(第15题)(第16题)109\n21.（2022·江苏省南京市一模，16，2）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG＝45°，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．则下列结论：①∠ECB是锐角，；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG=BE＋GD中一定成立的结论有▲(写出全部正确结论)．【答案】①③④22（2022·江苏省南京市高淳县一模，13，2）如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、C、D的坐标分别是(2，0)、(0，2)、(－1，0)，则顶点B的坐标是▲．【答案】(3，2)23（2022·江苏省南京市白下区一模，11，2）顺次连接矩形四条边的中点，得到的四边形的形状是▲．【答案】菱形24.（2022·江苏省南京市白下区一模，12，2）ABCDOxy（第12题）ABCD（第13题）ab123（第10题）如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点D的坐标是（3，4），则点B的坐标是▲．【答案】(－1，0)25.（2022·江苏省南京市栖霞区一模，14，2）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=▲°．【答案】90°26．（2022·江苏省南京市下关区一模，11，2）如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD，点O是两条对角线的交点，OD＝2，则AB＝▲cm．(第10题)(第11题)【答案】327（2022·江苏省南京市下关区一模，15，2）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝109\n4，AD＝8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是▲．(第15题)(第16题)【答案】4＋428（2022江苏省南京市下关区一模，16，2）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG＝45°，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．则下列结论：①∠ECB是锐角，；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG=BE＋GD中一定成立的结论有▲(写出全部正确结论)．【答案】①③④29（2022·北京市昌平区一模，11，4）如图，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，则菱形ABCD的面积为.【答案】24（12题图）30（2022·北京市房山区一模，12，4）如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n个四边形的周长为_________________．【答案】,431（2022·北京市海淀区一模，12，4）如图，矩形纸片中，.第一次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第二次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点；设的中点109\n为，第三次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点，….按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与交于点，则=，=．…第一次折叠第二次折叠第三次折叠…【答案】2，32（2022·北京市雁山区一模，12，4）已知：点F在正方形纸片ABCD的边CD上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF折叠纸片，使点C落在纸片内点C＇处（如图2）；再继续以BC＇为轴折叠纸片，把点A落在纸片上的位置记作A＇（如图3），则点D和A＇之间的距离为_________.ADADDC＇FFFA＇BCBB图1图2图3【答案】33（2022·江苏省东台市二模，16，3）109\n【答案】12034（2022·江苏省阜宁市一模，18，3）已知：点F在正方形纸片ABCD的边CD上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF折叠纸片，使点C落在纸片内点C＇处（如图2）；再继续以BC＇为轴折叠纸片，把点A落在纸片上的位置记作A＇（如图3），则点D和A＇之间的距离为_________.ADADDC＇FFFA＇BCBB图1图2图3【答案】35（2022河北省邢台市一模，18，3）【答案】36（2022·江苏省泰州市一模，16，3）如图，过正方形的顶点作直线，过作的垂线，垂足分别为．若，，则的长度为．【答案】37（2022··江苏省扬州市一模，15，3）第15题如图所示，两个含有60°的全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2022厘米后停下，则这只蚂蚁停在所停的点距离出发点A距离是．【答案】38（2022·河南省郑州市二模，10，3）.菱形ABCD中，如果对角线AC=2cm,BD=4cm,那么该菱形的面积等于____________.109\n【答案】439（2022·山东省淄博市一模，14，4）如图7，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD = 6，点A对应的数为，则点B所对应的数为．A0图7BCD【答案】540（2022·江苏省靖江市一模，13，3）在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是▲【答案】AC=BD或者有个内角等于90度41（2022·××省清远市二模，16，3）如图3，在菱形ABCD中，，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2cm，则的长为cm．【答案】442（2022·河南省××市四模，12，3）DBCAHGEF（第12题）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30º后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为.【答案】43（2022·河南省中招三模，14，3）如图，把边长为1的正方形ABCD对角线AC分成n段，以每一段为对角线作小正方形，所有小正方形的周长之和为____.【答案】444（2022·河南省中招三模，15，3）如图，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形（如图1），正方形的面积为_______；再把正方形各边延长一倍得到新正方形（如图2），如此进行下去，正方形的面积为______________（用含有n的式子表示，n为正整数）【答案】545（2022·河南省中招一模，13，3）如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是cm2．109\nBCEADF(第13题)【答案】46（2022·河南省新密市一模，8，3）如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=度.55ºDαACBlm【答案】3547（2022·湖北省襄阳市一模，15，4）如图，□ABCD中，E是CD延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD.若△DEF的面积为1cm2,则□ABCD的面积为__________cm2.【答案】1248（2022·湖南省长沙市二模，18，3）如图6，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方图6形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为，，…..,（n为正整数），那么第8个正方形的面积＝_______。【答案】12849（2022·江苏省昆山市一模，15，3）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是▲．【答案】16第15题图第14题图第16题图50（2022·江西省三模，14，3）如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A109\n落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是★．【答案】24CEFADB第15题51（2022·××省襄阳市一模，15，4）如图，□ABCD中，E是CD延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD.若△DEF的面积为1cm2,则□ABCD的面积为__________cm2.【答案】1252（2022·云南省玉溪市一模，15，3）第15题图如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为 度．【答案】125 53（2022·浙江省杭州市二模，13，4）如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是AAABBBCDCEDECFD【答案】54（2022·河南省中招市四模，12，3）DBCAHGEF（第12题）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30º后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为.109\n【答案】55（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】56（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】57（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】58（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】59（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】60（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】三、解答题1.（2022·湖北省黄冈市一模，18，7）已知如图在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于G.（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。EGBCFDA【答案】（1）由AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF，证△ADE≌△CBF…………2分（2）四边形AGBD是矩形…………3分由题意可知：AE=DE=BE，∴∠DAE=∠ADE，∠EDB=∠EBD，∴∠ADE+∠EDB=，又由AD∥BG，AG∥BD，∴四边形AGBD是矩形…………7分2.（2022·安徽省安庆市一模，21，12）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长．109\n【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC………………………………5分(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=………………12分3.（2022·广东省佛山市一模，19，6）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断：①OA=OC②AB=CD③∠BAD=∠DCB④AD∥BC请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题；（1）构造一个真命题，画图并给出证明；（2）构造一个假命题，举反例加以说明.【答案】解:（1）①④为论断时(③④也可)：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．………1分又∵OA=OC，∴△AOD≌△COB．………1分∴AD=BC．………1分∴四边形ABCD为平行四边形．………1分（2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．…2分109\n4.（2022·福建省福州市一模，17，8）如图，□ABCF中，，延长CF到E，使，过E作BC的垂线，交BC延长线于点D。求证：ABCDEF第17（2）题图【答案】5.（2022·福建省福州市一模，21，12）已知边长为10的菱形ABCD，对角线，过线段BD上的一个动点P（不与点B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F。（1）如图1，求证：△PBE∽△PDF;（2）连接PC，当最最小值时，求PB的长;（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，以PO为半径（）的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求PB的长。AFEBDCOPAFEBDCP第21题图2第21题图1ABDOCABDOC109\n109\n6.（2022·甘肃省酒泉市一模，21，10）如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm。（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；（2）当cm时，求x的值。109\n【答案】、（1）∵PQ⊥AP，∴∠CPQ＋∠APB＝90°，又∵∠BAP＋∠APB＝90°，∴∠CPQ＝∠BAP，∴tan∠CPQ＝tan∠BAP，因此点在BC上运动时始终有，∵，，，∴∴（）∵，∴y有最大值，当，（cm）。（2）由（1）知，当cm时，，整理，得，∵，∴，∵，∴当cm时，x的值是或7.（2022·甘肃省酒泉市一模，23，11）如图1，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y。求y与x之间的函数关系式。【答案】在Rt△PMN中，∵PM＝PN，∠P＝90°，∴∠PMN＝∠PNM＝45°，延长AD分别交PM、PN于点G、H，过点G作GF⊥MN于F，过点H作HT⊥MN于T，∵DC＝2cm，∴MF＝GF＝2cm，TN＝HT＝2cm，∵MN＝8cm，∴MT＝6cm，因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况：（1）当C点由M点运动到F点的过程中（，如图①109\n所示，设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC＝EC＝x，∴（）（2）当C点由F点运动到T点的过程中（），如图②所示，重叠部分是直角梯形MCDG，∵MC＝x，MF＝2，∴FC＝DG＝x－2，且DC＝2，∴（）；（3）当C点由T点运动到N点的过程中（），如图③所示，设CD与PN交于点Q，则重叠部分是五边形MCQHG，∵MC＝x，∴CN＝CQ＝8－x，且DC＝2，∴（）。8.（2022·广东省中山市一模，20，8）如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点AcEcDcFcBcCcGc（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长．【答案】20．⑴在正方形ABCD中，…………………………1分AB=AD=CD……………………………………………………1分∵AE=ED,DF=DC……………………………………………2分∴AE=ED=AB,DF=AB………………………………………3分∴∴…………………………………………………4分（2）…………………………………………………5分∴109\n∴由AD∥BG得∴………………………………………………………7分∴∴………………………………………………………9．（2022·黑龙江省哈尔滨市一模，23，6）【答案】10．（2022湖南省长沙市一模，22，6）如图4—9，在□ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，请你以点F为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一线段相等．(只需证明一组线段相等即可)①连结___________________，②猜想:_______=_______．【答案】22．①BF②BF=DE证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∴∠DAC=∠BCA．又∵AE=CF，∴△AED≌△CFB．∴DE=BF．109\n11.（2022·××省××市一模，24，11）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．DMABC第24题图N【答案】．解：（1）在正方形中，，，，，在中，，，，4分（2），，，6分，8分当时，取最大值，最大值为10．9分（3），要使，必须有，10分109\n由（1）知，，当点运动到的中点时，，此时．11分12.（2022·浙江省宁波市一模，26，12）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r图①d＝a＋ra－r＜d＜a＋rd＝a－rd＜a－r所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有 个；（2）如图②，当r＝a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系图②公共点的个数d＞a＋rd＝a＋ra≤d＜a＋rd＜a所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个；图③（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝a；图①【答案】26.[解]（1）d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r0d＝a＋r1a－r＜d＜a＋r2109\nd＝a－r1d＜a－r0所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；图②（2）d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r0d＝a＋r1a≤d＜a＋r2d＜a4所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；（3）如图所示，连结OC．则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r．在Rt△OCF中，由勾股定理得：BCDFEOF2＋FC2＝OC2即（2a－r）2＋a2＝r24a2－4ar＋r2＋a2＝r25a2＝4ar5a＝4r（4）①当a＜r＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；②当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；③当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；④当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．13.（2022·河北省三河市一模，20，7）如图，正方形中,点F在边BC上，E在边BA的延长线上.ABCDEF（1）若按顺时针方向旋转后恰好与重合.则旋转中心是点；最少旋转了度；（2）在（1）的条件下，若,求四边形的面积.109\n【答案】解：（1）D；.…………………………………………4分（2），...…………………………………………7分14.（2022·河北省三河市一模，24，10）已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点O,直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段AB,AD交于点M，N（不与点B，A，D重合）．设DN=x，四边形AMPN的面积为y．在下面情况下，y随x的变化而变化吗？若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式．（1）如图1，点P与点O重合；（2）如图2，点P在正方形的对角线AC上，且AP=2PC；（3）如图3，点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB．【答案】解：（1）当x变化时，y不变．如图1，．………………………………3分（2）当x变化时，y不变．如图2，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F．………………………………………4分∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD．。∴四边形AFPE是矩形，PF=PE．∴四边形AFPE是正方形．………………………………………5分∵∠ADC=90°，109\n∴PE∥CD．∴△APE∽△ACD．∴．∵AP=2PC，CD=3，∴．∴PE=2．∵∠FPE=90°，∠MPN=90°，∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°．∴∠NPE=∠MPF．∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF，∴△PEN≌△PFM．………………………………………6分∴．………………………7分（3）x变化，y变化．如图3，，0＜x＜3．………………………10分15.（2022·广东省深圳市一模，20，7）如图，正方形ABCD的边长是6，点F在AD上，点E在AB的延长线上，，且△CEF的面积是24.DCAFBE（1）求证：△CDF≌△CBE；（2）求DF的长度.【答案】20．（1）证明：是正方形，，≌………………………………………3分（2）解：由（1）得由的面积是24，可得…………………………5分在中，………………………7分109\n16.（2022·江苏省泰安市一模，28，10）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.【答案】1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°……………………2分∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC…………………………5分(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=………………8分∵△ADF∽△DEC∴…………………………9分∴AF=…………………………10分17（2022浙江省余姚市一模，26，12）109\n【答案】18.（2022·重庆市綦江县一模，19，6）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=.（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F.①求证：点B平分线段AF；109\n②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由.【答案】（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC由∠D=900，DE=1，AD=，推得DEA=600，同理，∠CEB=600，从而∠AEB=∠CEB=600，即EB平分∠AEC（2）①∵CE∥BF，∴==∴BF=2CE∵AB=2CE，∴点B平分线段AF②能证明：∵CP=，CE=1，∠C=900，∴EP=。在Rt△ADE中，AE==2，∴AE=BF，又∵PB=，∴PB=PE∵∠AEP=∠BP=900，∴△PAS≌△PFB∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到.∴旋转度数为120019.（2022·重庆市一模，26，12）密封线内不能答题如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8,8），点P在边OC上，点M在边AB上.把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处.动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动.（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由.109\n【答案】解：（1）P（0,5），M（8,1）……2分（2）10当0≤t≤5时，S＝RNFNINSNEN20当5≤t≤8时，如图，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴∵EO＝FO，∴RI＝FI又∵∴RI＝2PI∴FI＝2PI，∴FP＝PI，PI＝2PF∴PF＝t-5,RI=2(t-5)∴S=S△OEF-S△PRF==……5分（3）10如图作PM的中垂线交正方形的边为点H1,H2,则PH1=MH1,PH2=MH2，∴点H1,H2即为所求点设OH1=x，∵PH1=MH1,∴x2+52=(8-x)2+12∴H1()同理，设CH2=y，∵PH2=MH2,∴32+y2=(8-y)2+72∴H2()109\n20当PM＝PH3时，∵∴∴∴30当PM＝MH4时，∵∴∴∴综上，一共存在四个点，H1(),H2(),,…9分（4）∵∠PQN＝900∴∠CQP＝∠BQN＝900又∵∠CQP+∠CPQ＝900∴∠CPQ＝∠BQN，又∵∠C＝∠B＝900∴△CPQ∽△BQN设CQ＝m,则在Rt△CPQ中∵m2+CP2=(8-CP)2∴∴又∵△CPQ的周长＝CP+PQ+CQ＝8+m∴△BQN的周长＝＝16∴△BQN的周长不发生变化，其值为16.……12分20．（2022·江西省四模，17，6）如图，矩形中，与交于点，⊥，⊥，垂足分别为，．试比较．BE与CF的大小，并说明理由【答案】证明：在矩形ABCD中，OB=OC，．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分109\n⊥，⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．５分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分21．（2022·江西省宜春市一模，25，10）如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（4，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，运动1秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示OP、OQ，并写出t的取值范围；（2）连结AC，PQ与AC能否平行？若能，求出相应的值，若不能，说明理由；（3）将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，直线PE与AC能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．第25题图25题备用图（1）第25题备用图（【答案】25.解：（1）…………………………………………………………………1分……………………………………………………………………2分……………………………………………………………………3分（2）能与平行．……………………………………………………………………4分若，如图1，则，109\n即，，而，…………………………………………………………………..6分（3）不能与垂直．………………………………………………………………7分若，延长交于，如图2，则．即．．….….….….….…..8分又，，，，….….….….….…..．….….….….….…..….….….….….…..…..…..9分而，不存在．………………………………………………………………………………….10分22．（2022·福建省晋江市一模，题24，9）如图，边长为3的正方形纸片，用剪刀沿剪下，其中.（1）求的长；（2）若从余料（梯形）再剪下另一个,使点在上，则当的长为多少时，∽？【答案】解：(1)法一：在中，，，……………（4分）法二：四边形为正方形又设，则……………………（2分）在中，由勾股定理得109\n即解得（舍去负值）……………………（4分）（2）法一：由（1）可知，…………………………（5分）又由正方形可得当时∽…………………………（7分）由解得当时，∽.…………………………（9分）法二：由（1）可知，…………………………（5分）要使∽，则必须有…………………………（6分）在中，由可得故当时，∽.…………………………（9分）23．（2022·福建省晋江市一模，题26，13）如图所示，四边形是矩形，点、的坐标分别为（6，0），（0，2），点是线段上的动点（与端点、不重合），过点作直线交折线于点．（1）若直线经过点，请直接写出的值；（2）记的面积为，求与的函数关系式；（3）当点在线段上时，若矩形关于直线的对称图形为四边形，试探究四边形与矩形的重叠部分的面积是否会随着点位置的变化而变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.AOBCDExy109\n【答案】解：（1）；………………（3分）(2)由题意得（6，2）．若直线经过点（6，0）时，则；若直线经过点（6，2）时，则；若直线经过点（0，2）时，则.………………（4分）图2当点在上时，≤，如图1，此时∴………………………………（5分）当点在上时，3＜＜5，如图2,此时，=………………………………（7分）综上所述,当2＜≤3时,，当3＜＜5时,；………………………………（8分）图3（3）如图3，设与相交于点，与相交于点，则矩形与矩形的重叠部分的面积即为四边形的面积.由题意知，∥，∥，∴四边形为平行四边形………………………………（9分）根据轴对称知，又由∥可知∴∴，∴平行四边形为菱形……………………（11分）过点作，垂足为，设菱形的边长为，则在中，109\n，∴由勾股定理得：解得∴∴矩形与矩形的重叠部分的面积不会随着点E位置的变化而变化，面积始终为5.24．（23，10）如图，F为正方形ABCD的对角线AC上一点，FE⊥AD于点E，M为CF的中点．（1）求证：MB=MD；（2）求证：ME=MB．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD∠BAM=∠DAM……2分N在△BAM与△DAM中，∴△BAM≌△DAM…………3分∴MB=MD……………………4分（2）取线段DE的中点N，连结MN。…………………5分∵FE⊥ADCD⊥AD∴EF∥CD……………………6分∵M为CF的中点∴MN是梯形EFCD的中位线………7分∴MN∥EF……………………………………………………8分∴MN⊥AD……………………………………………………9分∴ME=MD∴ME=MB……………………………………10分25．（23，10）已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD.（1）求证：△ADE≌△CBF（2）若AD⊥BD,则四边形DFBE是什么特殊的四边形？请说明你的理由。【答案】（1）证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC,DC=ABDC∥AB∠A＝∠C……1分又∵E、F分别是边AB、CD的中点109\n∴AE=BE=DF=CF……….2分在△ADE和△CBF中∵AD＝BC∠A＝∠CAE＝CF………4分∴△ADE≌△CBF（SAS）……………5分（2）四边形DFBE是菱形。……………………………6分理由：∵DF∥BE且DF=BE∴四边形DFBE是平行四边形……………………8分又∵AD⊥BD且E是AB的中点∴DE=AB=BE…………………9分∴平行四边形DFBE是菱形………………10分26．（2022，上海市二模，22,10）如图8，已知是线段上一点，和都是正方形，联结、．ABCDEFGP(图8)(1)求证：=；(2)设与的交点为P，求证：.【答案】.证明：（1）∵四边形和是正方形∴，，（3分）∴△≌△（1分）∴（1分）（2）∵∥∴，（2分）∵，∴，（2分）∴（1分）27（2022，上海市二模，23,12）109\n如图8,在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F.（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若∠BAE=∠EAF，求证：AE=BE；（3）若对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM=MN（如图9）.FEDCBANMFEDCBA求证：∠EAF=2∠BAE.（图8）（图9）【答案】（解：（1）∵菱形ABCD，∴AB=AD，∠ABE=∠ADF，————————————（2分）又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD，————————————————（1分）∴△ABE≌△ADF.————————————————（1分）（2）∵菱形ABCD，∴AB‖CD，又∵AF⊥CD，∴AF⊥AB，∴∠BAF=,又∠BAE=∠EAF，∴∠BAE=，∠AEB=,———————————（2分）∴∠B==∠BAE，———————————————（1分）∴AE=BE.———————————————————（1分）(3)∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，AB=AD，∴∠ABM=∠ADN，∴△ABM≌△ADN.∴AM=AN，———————————————————（1分）又∵∠BAN=,BM=MN，∴AM=MN=AN，∴∠MAN=,——————————————————（1分）∴∠MAB=,——————————————————（1分）∴∠EAF=2∠BAE.————————————————（1分）28（2022，上海市二模，24,12）如图10，正方形ABCD、正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A、A1、A2在直线OM上，点C、C1、C2在直线ON上，O为坐标原点，已知点A的坐标为，正方形ABCD的边长为1.109\n（1）求直线ON的表达式；（2）若点C1的横坐标为4，求正方形A1B1C1D1的边长；（3）若正方形A2B2C2D2的边长为a，则点B2的坐标为（ ）. BCDOxyANMA1D1C1B1D2C2B2A2（图10）（A） （B） （C） （D）【答案】解：（1）由点A的坐标为，正方形ABCD的边长为1.得点B的坐标为，点C的坐标为，———（1分）令直线ON的表达式为，——————————（1分）则，解得，—————————————（1分）所以直线ON的表达式为.—————————（1分）（2）由点C1的横坐标为4，且在直线ON上，所以C1的坐标为，令正方形A1B1C1D1的边长为l，—（1分）则B1的坐标为，A1的坐标为，——（1分）由点A的坐标为，易知直线OM的表达式为，又点A1在直线OM上，则，———————（1分）解得，即正方形A1B1C1D1的边长为2.——————（1分）（3）B.————————————————————————（4分29（2022，上海市二模，23,12）ABCDEGFH已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．（1）求证：DH=HG=BG；（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD．…………………（1分）∵点E、F分别是AB、CD的中点，109\n∴．…………………………………………………………（2分）∴DH=．………………………………………………………………………（1分）同理：BG=．…………………………………………………………………（1分）∴DH=HG=GB=．……………………………………………………………（1分）（2）联结EF，交BD于点O．…………………………………………………………（1分）∵AB//CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点，∴．…………………………………………………（1分）∴FO=EO，DO=BO．………………………………………………………………（1分）∵DH=GB，∴OH=OG．∴四边形EGFH是平行四边形．……………………（1分）∵点E、O分别是AB、BD的中点，∴OE//AD．∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．…………………………………………………………（1分）∴□HEGF是菱形．………………………………………………………………（1分30（2022，上海市二模，25,14）（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题每小题5分，满分14分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，∠ABE=30°，BE=DE，联结BD．点M为线段DE上的任意一点，过点M作MN//BD，与BE相交于点N．（1）如果，求边AD的长；（2）如图1，在（1）的条件下，如果点M为线段DE的中点，联结CN．过点M作MF⊥CN，垂足为点F，求线段MF的长；（3）试判断BE、MN、MD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．ABCDEMN（图1）FABCDEMN（第25题图）【答案】解：（1）由矩形ABCD，得AB=CD，∠A=∠ADC=90°．在Rt△ABE中，∵∠ABE=30°，，∴，BE=2AE=4．…………（2分）109\n又∵BE=DE，∴DE=4．于是，由AD=AE+DE，得AD=6．……………………………（2分）（2）联结CM．在Rt△ABD中，．……………（1分）∴BD=2AB，即得∠ADB=30°．∵MN//BD，∴∠AMN=∠ADB=30°．…………………………（1分）又∵MN//BD，点M为线段DE的中点，∴DM=EM=2，．∴．………………………………………………（1分）在Rt△CDM中，．∴∠CMD=60°，即得CM=4，∠CMN=90°．………………（1分）由勾股定理，得．于是，由MF⊥CN，∠CMN=90°，得．……………………………（1分）（3）．…………………………………………………（1分）证明如下：过点E作EF⊥BD，垂足为点F．∵BE=DE，EF⊥BD，∴BD=2DF．…………………………（1分）在Rt△DEF中，由∠EDB=30°，得，即得．…………（1分）∵MN//BD，∴，，即得，BN=DM．∴．……………………………………………………（1分）于是，由BE=BN+EN，得．………………（1）31（2022吉林省长春市一模，24，7）109\n【答案】【探究】 理由:连结．（1分）在正方形中，，． 由折叠知，，，∵，∴．∵，，∴．又∵为公共边， ∴Rt△≌Rt△．∴． （4分）【应用】设．则，．由折叠知，，∴． ∵∴ 在Rt△中，由勾股定理，得．解得． 即的长为． （7分）32（2022·江苏省南京市高淳县一模，21，7）DC已知：如图，□ABCD中，∠BCD的平分线交AB于E，交DA109\n的延长线于F．(1)求证：DF＝DC；ABEF（第21题）(2)当DE⊥FC时，求证：AE＝BE．【答案】证明：（1）∵FC平分∠BCD∴∠DCF＝∠FCB………1分∵四边形ABCD为□∴FD∥BC∴∠DFC＝∠FCB………2分∴∠DCF＝∠DFCABCDEF∴DF＝DC………3分（2）∵DF＝DC，DE⊥FC∴FE＝EC………4分∵四边形ABCD为□∴FD∥BC∴∠DFC＝∠FCB又∵∠AEF＝∠CEB∴△AFE≌△BCE………6分∴AE＝BE………7分33（2022江苏·省南京市高淳县一模，22，6）蔬菜种植区域下侧空地（第22题）某村计划建造如图所示的正方形蔬菜温室，在温室内，要求沿下侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当正方形蔬菜温室边长为多少时，蔬菜种植区域的面积是224m2？【答案】(6分)解：设正方形蔬菜温室边长为xm，则蔬菜种植区域的两边长分别为（x－2）、(x－4)………1分据题意得：（x－2）(x－4)＝224………3分解之得x1＝18，x2＝－12（舍去）………5分答：当正方形蔬菜温室边长为18m时，蔬菜种植区域的面积是224m2．………6分34（2022·江苏省南京市高淳县一模，28，9）如图(1)，正方形ABCD中，点H从点C出发，沿CB运动到点B停止．连结DH交正方形对角线AC于点E，过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G．（1）求证：DH＝FG；（2）在图(1)中延长FG与BC交于点P，连结DF、DP（如图（2）），试探究DF与DP的关系，并说明理由．109\nABCDFEGPH（第28题）图（2）ABCDEFGH图（1）【答案】ABCDEFGH图（1）P（1）证明：过点F作FP⊥DC于点P在正方形ABCD中易证FP＝DC………1分又因为FP⊥DC，易证∠PFG＝∠HDC………2分∵FP＝DC，∠PFG＝∠HDC，∠FPG＝∠DCH＝90°∴△FPG≌△DCH………3分∴DH＝FG………4分（2）过点E分别作AD、BC的垂线，交AD、BC于点M、N，交AB、CD于点R、T．因为点E在AC上，可得四边形AREM、ENCT是正方形．………6分ABCDFEGPH图（2）MNRT易证△FRE≌△DME≌△ENP∴FE＝DE＝EP………8分又∵DE⊥FP，∴DF与DP的关系为相等且垂直．……9分35（2022·江苏省南京市六合区一模，25，8）如图，要建一个面积为的长方形养鸡场（分为两个区域），养鸡场的一边靠着一面长为的墙，另几条边用总长为的竹篱笆围成，每块区域的前面各开一个宽的门．求这个养鸡场的长与宽．109\n【答案】解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得……………………1分x(22–3x+2)=45．……………………4分解这个方程得：x1=3，x2=5．……………………6分当x=3时，22–3x+2=15>14，x=3不合题意,舍去．当x=5时，22–3x+2=9<14．答：养鸡场的长为9m，宽为5m.……………………8分36（2022·江苏省南京市宣武区一模，21，7）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）连接CE，当CE平分∠BCD时，求证：ED=FD．ABCDEF（第21题图）【答案】（1）证明：∵在□ABCD中，∴AB∥DF,∴∠A=∠FDE，ABCDEF（第21题图）∵E是AD中点，∴AE=DE，……………….2分在△BAE和△FDE中∠A=∠FDEAE=DE∠AEB=∠DEF∴△BAE≌△FDE…………………………….4分（2）∵在□ABCD中，∴AB=CD，AD∥BC∵△BAE≌△FDE，∴AB=DF∴DC=DF……………………………………..5分∵AD∥BC∴∠ECB=∠DEC∵EC平分∠BCF,∴∠ECB=∠ECF,∴∠DEC==∠DCE,∴DE=DC∴DE=DF…………………………………………..7分37（2022·江苏省南京市鼓楼区一模，题20，7）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△CBE．求证：（1）∠A＝90°；109\nABCDOEF（2）四边形ABCD是矩形．【答案】证明：（1）∵△DAF≌△CBE，∴∠A＝∠B．……………………………1分∵AD//BC，∴∠A＋∠B＝180°．……………………………2分∴2∠A＝180°．即∠A＝90°．………………………………………………3分（2）∵△DAF≌△CBE，∴AD＝BC．……………………………4分又∵AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形．……………………………6分∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．……………………………7分38（2022·江苏省南京市建邺区一模，19，6）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC,DE∥AB.BABCDE（第19题图）证明：（1）AE=DC；（2）四边形ADCE为矩形．【答案】证明：（1）在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC1分∵AE∥BC,DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形2分∴BD=AE，3分∵BD=DC∴AE=DC．4分（2）解法一：∵AE∥BC，AE=DC，∴四边形ADCE为平行四边形．5分又∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE为矩形．6分解法二：∵AE∥BC，AE=DC，∴四边形ADCE为平行四边形5分又∵四边形ABDE为平行四边形∴AB=DE．∵AB=AC，∴DE=AC．∴四边形ADCE为矩形．639（2022·江苏省南京市江宁区一模，21，6）如图，四边形是正方形，点在上，109\n，垂足为，请你在上确定一点，使，请你写出两种确定点G的方案，并写出其中一种方案的具体作法和证明．方案一：；方案二：（1）作法：(2)证明：【答案】解：方案：（一）过点B作BG⊥AE,垂足为G；（二）在AE上截取AG=DF；（三）作交AE于点G；…………………………2分（注：其中任意一个均可作为方案一，另外再选择一个作为方案二）（作法正确）……………………………………………………………………………3分（2）①如果是过点B作BG⊥AE,垂足为G，证明如下：∵，BG⊥AE，∴.……………………………………………………………4分由题意知，∴.……………………………………………………………………5分∵四边形是正方形，∴AD=AB,在与中，，，AD=AB,∴（AAS）.………………………………………………………6分②如果是在AE上截取AG=DF，证明如下：∵，AD⊥AE，∴∴.……………………………………………………………………4分∵四边形是正方形，∴AD=AB,……………………………………………5分在与中，AG=DF，，AD=AB,∴（SAS）.………………………………………………………6分③如果作交AE于点G，证明如下：∵，AD⊥AE，∴∴.……………………………………………………………………4分∵四边形是正方形，∴AD=AB,……………………………………………5分在与中，，AD=AB，∴（ASA）.………………………………………………………6分40（2022·北京市一模，15，5）如图，是平行四边形对角线上两点，，求证：。109\nDCABEF【答案】解：平行四边形中，，，．又，．DCABEF在和中，41（2022·北京市朝阳区一模，18，5）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长．【答案】解：由题意，得AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF.……………………………………1分在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=3.……………………………………2分在矩形ABCD中，DC=AB=5.∴CE=DC-DE=2.…………………………………………………………………3分设FC=x，则EF=4-x.在Rt△CEF中，..……………………………………………4分解得.………………………………………………………………………5分即FC=.42（2022·北京市大兴区一模，22，5）一块矩形纸片，利用割补的办法可以拼成一块与它面积相等的平行四边形（如图1所示）：请你根据图1作法的提示，利用图2画出一个平行四边形，使该平行四边形的面积等于所给的矩形面积.要求：（1）画出的平行四边形有且只有一个顶点与B点重合；（2）写出画图步骤；（3）写出所画的平行四边形的名称.【答案】解：（1）过点C作射线CE（不过A、D点）；………………………1分（2）过点B作射线BF∥CE，且交DA的延长线于点F；………2分（3）在CE上任取一点G，连结BG；………………………3分（4）过点F作FE∥BG，交射线CE于点E.…………………4分则四边形BGEF为所画的平行四边形.109\n43（2022·北京市丰台区一模，19，5）已知:如图，在四边形ABFC中，=90°,的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)当的大小为多少度时,四边形BECF是正方形？【答案】解：⑴∵EF垂直平分BC,∴CF=BF,BE=CE，∠BDE=90°…………………………1’又∵∠ACB=90°∴EF∥AC∴E为AB中点，即BE=AE………………………………2’∵CF=AE∴CF=BE∴CF=FB=BE=CE…………………………………………3’∴四边形是BECF菱形.…………………………………4’⑵当∠A=45°时，四边形是BECF是正方形.…………5’44（2022·北京市怀柔区一模，22，4）（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积.（2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1,求三角形DBF的面积.（3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为，求三角形DBF的面积.从上面计算中你能得到什么结论.结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关，与无关.（没写结论也不扣分）【答案】解：（1）………………………（2分）109\n（2）…………（2分）结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关，与无关.（没写结论也不扣分）45（2022·北京市门头沟区一模，19，5）已知：如图，在□ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．（1）求证：AE⊥DF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．【答案】解：（1）在□ABCD中，，∴∠ADC+∠DAB=180°．DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，∴，．∴．∴．∴AE⊥DF．…………………………………………………………………………2分（2）过点D作，交BC的延长线于点H，则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH．∴DH=AE=4，EH=AD=10.在□ABCD中，，∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA．∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA．∴DC=FC，AB=EB．在□ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，∴CF=BE=6，BF=BC－CF=10－6=4．∴FE=BE－BF=6－4=2．…………………………………………………………3分∴FH=FE+EH=12．………………………………………………………………4分在Rt△FDH中，.………………………………5分46（2022·北京市密云县一模，16，5）已知：如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB＝CD…1分∴∠ABE＝∠CDF………2分又∵AE⊥BD，CF⊥BD109\n∴∠AEB＝∠CFD＝900…3分∴Rt△ABE≌Rt△CDF…4分∴∠BAE＝∠DCF……….5分47（2022·北京市密云县一模，24，7）如图，边长为5的正方形的顶点在坐标原点处，点分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的点（不与点重合），，且与正方形外角平分线交于点.（1）当点坐标为时，试证明；（2）如果将上述条件“点坐标为（3，0）”改为“点坐标为（，0）（）”，结论是否仍然成立，请说明理由；（3）在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由.【答案】AEHOMCyBGPFx解：（1）过点作轴，垂足为∴∵∴∴∴由题意知:∴得∴在和中∴故2分（2）仍成立.同理∴由题意知:∴整理得∵点不与点重合∴∴∴在和中∴5分（3）轴上存在点，使得四边形是平行四边形.109\n过点作交轴于点∴∴在和中∴∴而∴由于∴四边形是平行四边形.8分48（2022·北京市顺义区一模，22，5）如图，将正方形沿图中虚线（其）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图；（2）求的值．【答案】（1）如图-----------------------------2分（2）面积可得----------------------3分----------------------------------------4分(舍去)------------5分49（2022·北京市西城区一模，20，5）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．（1）求BN的长；（2）求四边形ABNM的面积.【答案】解：如图3．（1）由题意，点A与点，点与点分别关于直线对称，图3∴，．………………………………………………1分109\n设，则．∵正方形，∴．∴．∵=3，∴．解得．∴．……………………………………………………………………2分（2）∵正方形，∴AD∥BC，．∵点M，N分别在AD，BC边上，∴四边形ABNM是直角梯形．∵，，∴．∴，．∵，，∴．∴．在Rt△中，∵，，，∴．∵，∴．∵，∴．在Rt△中，∵，，，∴．…………………………………………………………………4分∴．…………………5分109\n50（2022·北京市燕山区一模，22，4）将正方形ABCD（如图1）作如下划分：第1次划分：分别联结正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH按上述方法再作划分，得图3，则图3中共有_______个正方形；若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有_______个正方形；继续划分下去，能否将正方形ABCD划分成有2022个正方形的图形？需说明理由.ADAHDAHDEMGEMGBCBFCBFC图1图2图3×【答案】第2次划分，共有9个正方形；…………………………………………1分第100次划分后，共有401个正方形；………………………………………2分依题意，第n次划分后，图中共有4n+1个正方形，…………………………3分而方程4n+1=2022没有整数解，所以，不能得到2022个正方形.…………………………………………4分51（2022·江苏省常熟市一模，24，7）如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE．(1)求证：BF＝DE；(2)当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．【答案109\n【答案】52（2022·江苏省常熟市一模，28，9）如图，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．(1)问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的；(2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．【答案】109\n53（2022·江苏省张家港市一模，22，6）如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．(1)求证：△AEF≌△DCE；(2)若矩形ABCD的周长为32cm，DE＝4cm，求AE的长．【答案】54（2022·江苏省张家港市一模，29，9）如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(6，0)，(0，2)，点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝x＋m交线段OA于点E．(1)记△ODE的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范同；(2)若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1．①当m为何值时，点B、E、B1三点共线；②试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若发生改变，请说明理由。109\n【答案】109\n55（2022·广东省从化市一模，18，9）已知：如图6，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC的中点．ADEFBC图6求证：AF=CE．【答案】解：方法1：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，ADEFBC∴ AE=CF．…………2分又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC，即AE∥CF．…………4分∴ 四边形AFCE是平行四边形．…………7分∴ AF=CE．…………9分方法2：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴BF=DE．…………2分又∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠B=∠D，AB=CD．…………4分∴ △ABF≌△CDE．…………7分∴ AF=CE．…………9分109\n56（2022·河南省中招市一模，17，9）如图，在中，为的中点，连接并延长交的延长线于点.(1)求证：；(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由．×【答案】.解：(1)证明：∵四边形是平行四边形∴∴∵为的中点∴∴∴∴四边形为平行四边形∴…………………………4分(2)解:当时,四边形是矩形.…………………6分理由如下:∵∴∵四边形是平行四边形∴∴∵四边形是平行四边形∴四边形是矩形…………………………9分57（2022··河南省中招市一模，19，9）小明在探究问题“正方形ABCD内一点E到A、B、C三点的距离之和的最小值”时,由于EA、EB、EC比较分散，不便解决.于是将绕点B逆时针旋转得,联结EE′.109\n(1)小明得到的是什么三角形?(直接写出结果,不必说出理由)(2)图1中联结A′C,试比较AE+BE+CE与A′C的大小.(3)当点E在正方形ABCD内移动时,猜测AE+BE+CE有无最小值?如有利用图2画出符合题意的图示并说出理由;如果不存在最小值,简述理由.【答案】.(1)△BEE′是等边三角形，…………………………………..2分 (2)AE+BE+CE>A′C ………………………………….3分 理由：在△AFC和△BEC中， ∵△BEE′是等边三角形， ∴EE′=BE，由旋转可知:AE=A′E′ ∴AE+BE+CE=A′E′+EE′+CE>A′C…………………5分 (3)AE+BE+CE存在最小值.如图绕点B逆时针旋转得,当E落在上（显然此时）时，的最小值.(两点之间线段最短).……………………………………………………………9分A58（2022·江苏省泰州市一模，28，12）如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD109\n的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．O×【答案】（1）若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t.则＝＝，又∵AO＝10，AB＝20，∴＝＝.∴＝，又∠CAB＝30°，∴△APQ∽△ABO，∴∠AQP＝90°，即PQ⊥AC.………………4分当5﹤t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考虑一种情况即可）∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.（2）①如图，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，QM＝20－4t.由AQ＋QM＝AM得2t＋20－4t＝解得t＝，∴当t＝时，点P、M、N在一直线上.…………………………8分②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.设l交AC于H.如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°.∴MH＝2NH，得20－4t－＝2×解得t＝2，…………………10分（图1）（图2）如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.∴MH＝2PH，同理可得t＝.故当t＝2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形.…………………12分109\n59（2022·江西省兴国县一模，23，9）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围城如图10所示的矩形ABCD，设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米。（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的值范围）（2）用自己的方法将（1）的关系式化成顶点式。（3）当AB的长多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？(1)【答案】解：（1）所求的关系式是即……………….……3分（2）……………………….7分（3）抛物线开口向下函数有最大值当AB的长为8米时，矩形面积最大是128平方米9分60（2022·内蒙古省乌海市一模，18（2），5）⑵如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边AD、CD的中点.求证：BE=BF.（本小题满分5分）A第18题图BCDEF【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠C，2分∵点E、F分别是边AD、CD的中点，∴AE=，CF=，109\n∴AE=CF，3分∴△ABE≌△CBF，4分∴BE=BF.61（2022·山东省一模，24，12）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒.（1）当点P在线段AO上运动时.①请用含x的代数式表示OP的长度；②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；第24题（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由.【答案】解：（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD∵AB=2∴OB=OD=1，OA=OC=∴OP=……………2分②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线∴∵DQ=x∴BQ=2－x∴…………………………1分…………………………1分109\n∴…………………………2分（2）能成为梯形，分三种情况：当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°∴即∴x=此时PB不平行QE，∴x=时，四边形PBEQ为梯形.………………………2分当PE∥BQ时，P为OC中点∴AP=，即∴此时，BQ=2－x=≠PE，∴x=时，四边形PEQB为梯形.…………………2分当EQ∥BP时，△QEH∽△BPO∴∴∴x=1（x=0舍去）此时，BQ不平行于PE，∴x=1时，四边形PEQB为梯形.………………………………2分综上所述，当x=或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形.62（2022·上海市长宁区一模，24，12）如图，AD//BC，点E、F在BC上，∠1=∠2，AF⊥DE，垂足为点O.(1)求证:四边形AEFD是菱形；(2)若BE=EF=FC，求∠BAD+∠ADC的度数；(3)若BE=EF=FC，设AB=m，CD=n，求四边形ABCD的面积.109\n【答案】证明:（方法一）∵AF⊥DE∴∠1+∠3=90°即：∠3=90°-∠1∴∠2+∠4=90°即：∠4=90°-∠2又∵∠1=∠2∴∠3=∠4∴AE=EF∵AD//BC∴∠2=∠5∵∠1=∠2∴∠1=∠5∴AE=AD∴EF=AD2分∵AD//EF∴四边形AEFD是平行四边形1分又∵AE=AD∴四边形AEFD是菱形1分（方法二）∵AD//BC∴∠2=∠5∵∠1=∠2∴∠1=∠5∵AF⊥DE∴∠AOE=∠AOD=90°在△AEO和△ADO中∴△AEO△ADO∴EO=OD6在△AEO和△FEO中∴△AEO△FEO∴AO=FO2分∴AF与ED互相平分1分∴四边形AEFD是平行四边形又∵AF⊥DE∴四边形AEFD是菱形1分(2)(5分）∵菱形AEFD∴AD=EF∵BE=EF∴AD=BE又∵AD//BC∴四边形ABED是平行四边形1分∴AB//DE∴∠BAF=∠EOF同理可知四边形AFCD是平行四边形∴AF//DC∴∠EDC=∠EOF又∵AF⊥ED∴∠EOF=∠AOD=90°∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90°2分∴∠5+∠6=90°1分∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6+∠5+∠EDC=270°1分（3）(3分）由（2）知∠BAF=90°平行四边形AFCD∴AF=CD=n又∵AB=m1分109\n由（2）知平行四边形ABED∴DE=AB=m由（1）知OD=1分1分63（2022·上海市金山区二模，25，14）如图，正方形的边长是，是的中点．动点在线段上运动．连接并延长交射线于点，过作的垂线交射线于点，连接、.（1）求证：是等腰三角形；（2）设时，的面积为．求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；GMFEDCBA（3）在点运动过程中是否可以成为等边三角形？请说明理由.【答案】1）∵四边形是正方形∴∥（1分）∵∴（1分）∴（1分）又∵∴（1分）（2）当点与点重合时，＝0，＝×4×4＝8（1分）当点不与点重合时，0＜≤4∵在中＝＝ME＝∴＝＝（1分）过作，垂足为则∴∵∴∴∴∽（1分）109\n∴即∴＝＝（1分）∴＝×＝××＝（2分）∴＝其中0≤≤4（1分）（3）不可能（1分）∵＝＝（1分）在中＞∴＞（1分）∴不可能是等边三角形64（2022·江苏省扬州市梅岭一模，28，12）将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M，连接BF与EG交于点P．（1）当点F与AD的中点重合时（如图1）：①△AEF的边AE=▲cm，EF=▲cm，线段EG与BF的大小关系是EG▲BF；（填“＞”、“＝”或“＜”）②求△FDM的周长.（2）当点F在AD边上除点A、D外的任意位置时（如图2）：③试问第（1）题中线段EG与BF的大小关系是否发生变化？请证明你的结论；④当点F在何位置时，四边形AEGD的面积S最大？最大值是多少？【答案】解：（1）①AE=3cm，EF=5cm；EG=BF…………………………3分设AE=x，则EF=8-x，AE=4，∠A=90°，，x=3，∴AE=3cm，EF=5cm.②解：如答图1，∵∠MFE=90°，∴∠DFM+∠AFE=90°，又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，∴△AEF∽△DFM，…………………………………5分109\n∴，又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5∴，，，，∴△FMD的周长=4++=16.……………………………6分（2）①EG=BF不会发生变化…………………………………7分理由：证明：如答图2，∵B、F关于GE对称，∴BF⊥EG于P，过G作GK⊥AB于K，∴∠FBE=∠KGE，在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，∴△AFB≌△KEG，∴EG=BF.…………………………………9分②如答图2，设AF=x，EF=8-AE，，∴AE=4-，∵△AFB≌△KEG，∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4-+x，………………10分S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4-+4-+x）=S=，（0<x<8）当x=4,即F与AD的中点重合时,，=24.……12分65（2022·山东省淄博市一模，23，10））如图，在菱形中，是上的一个动点（不与重合），连接交对角线于，连接．（1）求证：；ABDCEP（2）若，试问点运动到什么位置时的面积等于菱形面积的？为什么？【答案】证明：（1）四边形是菱形，，………….1’ABDCEP平分．而，……………………………..2’．又，………………………………..4’109\n………………………………………5’（2）当点运动到边的中点时，的面积等于菱形面积的．………………..6’连接．，，ABDCP是等边三角形………………………………………………7’而是边的中点，，......................................8’，即的面积等于菱形面积的．…………………………10’66（2022·辽宁省大连市一模，19，分值）如图9，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E、F在BC上，且∠FAB＝∠EDC．ABCDEF图9求证：BE＝FC．【答案】证明：∵AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠C………………………………………3分又∵∠FAB=∠EDC∴△ABF≌△DCE………………………………6分∴BF=CE………………………………………8分∴BF－EF=CE－EF即BE=FC………………………………………9分67（2022·江苏省靖江市一模，21，8）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，(1)求证：BC=DE；(2)连结AD、BE，若要使四边形ADBE是菱形，则给△ABC添加什么条件，并说明理由.【答案】（1）证明:∵E是AC的中点∴EC=∵∴DB=EC………………1分109\n又∵DB∥AC∴四边形DBCE是平行四边形…………3分∴BC=DE……………………………………4分(2)添加∠ABC=90o……………………………………5分理由:∵DB=AE,DE∥AC∴四边形ADBE是平行四边形……………………………………6分∵∠ABC=90o∴在Rt△ABC中,E是斜边AC的中点∴AE=EB∴四边形DBEA是菱形……………………………………8分68（2022·××省清远市一模，19，6）ABCDOEF图2如图2，矩形的两条对角线和相交于点，、是上的两点，且.求证：四边形是平行四边形.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD……………………………………………(1分)∴又∵∠AEB∠CFD∴△ABE≌△CDF……………………………………………(3分)∴BE=DF……………………………………………(4分)又∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC，OB=OD∴OB-BE=OD–DF∴OE=OF………………………(5分)∴四边形AECF是平行四边形…………………………………(6分)69（2022·××省清远市一模，24，8）24．如图5，四边形是正方形，是延长线上的一点，且.（1）求证：平分；（2）设AE交CD于点F，正方形ABCD的边长为1，求DF的长.（结果保留根号）ABCDE图5F【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线ABCDE图5F∴………(1分)又∵∴………(2分)109\n∴………(3分)∴∴平分……………………………………………(4分)(2)解：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90o，∠D=∠DCE=90o∴∴CE=AC=……………………………………………(5分)又∵∠AFD=∠EFC∴△AFD∽△EFC……………………………………………(6分)∴设，则∴∴……………………………………(7分)……………………………………(8分)70（2022·××省清远市二模，26，9）问题探究（1）请在图9的正方形ABCD内，画出使的一个点，并说明理由．（2）请在图10的正方形ABCD内（含边），画出使的所有的点，并说明理由．问题解决（3）如图11，现有一块矩形钢板ABCD，，．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△钢板，且．请你在图11中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．DCBA图9DCBA图11DCBA图10【答案】解：（1）如图9，连接、交于点，则．∴点为所求．………………(2分)（2）如图10，画法如下：1）以为边在正方形内作等边△；……（3分）109\n2）作△的外接圆⊙，分别与、交于点、．（注：能用别的方法找出特殊点E、F，给1分）DCBAOPEF图10在⊙中，弦所对的弧上的圆周角均为，∴弧上的所有点均为所求的点．………………(5分)（3）如图11，画法如下：1）连接；DCBAEGOP图112）以为边作等边△；3）作等边△的外接圆⊙，交于点；4）在上截取．则点、为所求．………………(6分)（注：评卷时，作图准确，无画法的不扣分）过点作，交于点．在Rt△中，，．∴．∴．………………(7分)在Rt△中，，∴．在Rt△中，，∴．∴．∴．………………(9分)71（2022·广东省惠州市一模，16，7）16．（7分）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF。第16题图FEDCBA109\n【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB＝CD…………………………2分∴∠ABE＝∠CDF………………………………3分又∵AE⊥BD，CF⊥BD∴∠AEB＝∠CFD＝900………………………4分∴Rt△ABE≌Rt△CDF………………………6分∴∠BAE＝∠DCF……………………………7分72（2022·广东省四会市一模，18，6）已知：如图7，E，F分别是ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF=CE．ADEFBC图7B【答案】证明：方法1：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，ADEFBC(第18题)∴ AE=CF．……2分又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC，即AE∥CF．……4分∴ 四边形AFCE是平行四边形．……5分∴ AF=CE．……6分方法2：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴BF=DE．……2分又∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠B=∠D，AB=CD．∴ △ABF≌△CDE．……5分∴ AF=CE．……6分73（2022·广东省四会市一模，22，8）109\n如图9，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，图9且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；【答案】（1）证明：∵∠AEF=90o，∴∠FEC+∠AEB=90o．………………………………………1分在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，…………………2分∴∠BAE=∠FEC；……………………………………………3分（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，∴AG=GB=BE=EC=…………………4分且∠AGE=180o－45o=135o．…………………………5分又∵CF是∠DCH的平分线，∠ECF=90o+45o=135o．……………………………………6分在△AGE和△ECF中，…………………7分∴△AGE≌△ECF；…………………………………………8分74（2022·河南省中招五模，19，9）19．（9分）如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，交ED于点G.判断CF与ED的位置关系，并说明理由.ABCDFEG109\n【答案】解：垂直.………………………………………1分理由：∵四边形ABCD为正方形∴∠ABD=∠CBD,AB=BC∵BF=BF∴△ABF≌△CBF∴∠BAF=∠BCF………………………………………4分∵在RT△ABE和△DCE中,AE=DE,AB=DC∴RT△ABE≌△DCE∴∠BAE=∠CDE∴∠BCF=∠CDE………………………………………6分∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠BCF+∠DEC=90°∴DE⊥CF.………………………………………9分75（2022·河南中招三模，17，9）如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】BM=FN……………1分证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心,∴BO=DO,∠BDA=∠DBA=45°．……………3分∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，∴FO=DO,∠F=∠BDA∴OB=OF，∠OBM=∠OFN…………………………5分在△OMB和△ONF中109\n∴△OBM≌△OFN…………………………8分∴BM=FN…………………………9分76（2022·湖北省黄冈市三模，18，6）如图，菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE＋CF=2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由，同时指出△BCF是由△BDE经过怎样的变换得到?【答案】证明：(1)∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，∴BD=BC，且∠BDE=∠BCF=60°．∵AE＋CF=2，又∵AE＋DE=AD=2，∴DE=CF，∴△BDE≌△BCF．(2)△BEF是等边三角形．理由如下：由(1)得：△BDE≌△BCF，∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，∴∠EBF=∠EBD＋∠DBF=∠CBF＋∠DBF=60°，∴△BEF是等边三角形，△BCF是由△BDE绕点B顺时针旋转60°得到．77（2022·湖北省襄阳市一模，19，11）如图1，四边形ABCD是正方形，G在BC的延长线上，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），∠AEF=90°，且AE=EF，连接CF.(1)求证：∠FCG=45°；(2)如图2，当四边形ABCD是矩形，且AB=2AD时，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），∠AEF=90°，且AE=2EF，连接CF，求tan∠FCG的值.BADFGCE图1书BCFDAE图2书G【答案】（1）证明：过F作FH⊥CG于H，……（1分）在正方形ABCD中，∠ABE=900，AB=BC，∵∠AEF=900，∴∠AEB+∠FEH=900，又∵∠BAE+∠AEB=900∴∠BAE=∠FEH……（3分）又∵∠ABE=∠FHE，AE=EF，∴△ABE≌△EHF……（4分）∴BE=FH，AB=EH=BC，∴BE=CH=FH，∴△FCH是等腰直角三角形∴∠FCH=450……（6分）说明：也可以在AB上截取AH′=EC，通过证△AH′E≌△FCE来证明，请参考以上评分说明给分。109\n（2）过F作FH⊥CG于H……（7分）在矩形ABCD中，同（1）理可证∠BAE=∠FEH.……（8分）又∵∠ABE=∠EHF=900，∴△ABE∽△EHF.……（9分）∴===2，∴BC=EH，即BE=CH.……（10分）∴BE=CH=2FH∴tan∠FCH==……（11分）78（2022·湖北省孝感市一模，21，10）如图,四边形ABCD的∠BAD=∠C=90º,AB=AD,AE⊥BC于E,旋转后能与重合。（1）旋转中心是哪一点?（2）旋转了多少度?（3）若AE=5㎝,求四边形AECF的面积。 九年级阶段性检测·数学 第4页【答案】21．（1）点A；（2）90度；（3）25cm279（2022·湖北省枣阳市一模，25，10）如图1，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．连接GD、FC.(1)求证：△ADG≌△ABE；(2)观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(3)如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝，BC=(、为常数)，E是线段BC上一动点(不含端点B、C)，以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含、的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°.（1分）∵∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，∴∠BAE=∠DAG.（2分）∴△BAE≌△DAG.（3分）（2）∠FCN=45°.（4分）理由：作FH⊥MN于H，如图.∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠FEH=∠BAE.又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△ABE.（5分）∴FH=BE，EH=AB=BC，∴CH=BE=FH.∵∠FHC=90°，∴∠FCH=45°.（6分）（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变.（7分）理由：作FH⊥MN于H，如图.由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG.∵G在射线CD上，∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△AGD，△EFH∽△AEB.（8分）109\n∴EH=AD=BC=，∴CH=BE，（9分）∴.∴在Rt△FCH中，tan∠FCN===.∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=.（10分）80（2022·湖北省黄冈市黄州区一模，18，7）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．（1）求证：∠DAE＝∠DCE；（2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？【答案】81（2022·湖北省黄冈市黄州区一模，21，8）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．【答案】82（2022·江苏省南京市一模，28，8）109\n【答案】83（2022·江苏省建湖县一模，27，12）如图(1)，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．BCCAGDFE图(1)容易证得：CE＝CF；(1)在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°.试猜想GE、BE、GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论.(2)运用⑴中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：①如图(2),在四边形ABCD中∠B=∠D=90°,BC=CD,点E,点G分别是AB边,AD边上的动点.若∠BCD=α°,∠ECG=β°,试探索当α和β满足什么关系时,图(1)中GE、BE、GD三线段之间的关系仍然成立,并说明理由.图(3)OABCMN②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图(3）).设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.109\n【答案】(本题满分12分)（1）(3分)GE=BE+GD(2)(4分)α=2β(3)(5分)p=284（2022·江苏省上岗中学一模，21，8）第21题如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；(2)求线段的长．【答案】21、（1）60（2）185（2022·江苏省上岗中学一模，25，10）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长.第25题【答案】s=当s=50时x=5或10（舍去）86（2022·江苏省苏州市一模，26，8）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝．(1)在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；(2)若P为BC边上一点，且BP＝2CP，连结EP并延长交AB的延长线于F．①求证：点B平分线段AF；②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．109\n【答案】(1)当E为CD中点时，EB平分∠AEC(2)①略②△PAE可以由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，旋转的度数为120°87（2022·江苏省苏州市一模，29，9）在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连结BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连结BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．(1)当点P在线段ED上时(如图(1))，求证：BE＝PD＋PQ；(2)若BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(3)在(2)的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连结QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G(如图(3))，求线段PG的长．【答案】(1)略(2)(3)88（2022·江西省六模，20，8）如图，已知：在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．（1）求证：四边形为矩形；（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？（不必证明）．109\n【答案】（1）证明：在中，．∴．1分是外角的平分线，∴．∴．3分又，∴，∴四边形为矩形．6分（2）答案不唯一．例如：当时，四边形是正方形．8分89（2022·江西省六模，24，10）矩形ABCD中，已知：AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF，设AE=x，△FCG的面积=y.（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求x和y的值；（2）如图2，①求y与x之间的函数关系式与自变量的取值范围；②连接AC，当EF∥AC时，求x和y的值；③当△CFG是直角三角形时，求x和y的值.【答案】（1）作FM⊥CD于M，∵△AEH≌△DHG≌△MGF∴x=AE=DH=6-2=4，DG=AH=2……………………………………………………1分∴y=△FCG的面积=.…………………………………………………2分（2）①∵△AEH∽△DHG∴即，∴………………………………………3分109\n∴△FCG的面积=.…………………………………4分∴1<x<8.……………………………………………………………………………5分②∵△DHG∽△DAC∴即，∴.……………………………………6分∴，∴y=，∴.………………………7分③由画图可知∠FGC和∠GCF都不能为直角，当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，∴△AEH∽△BCE…………8分∴，即，解得：∴x=2或x=6.…………………………9分∴y=4或.…………………………………………………………………10分90（2022·江西省三模，23，9）书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好．第23题问题1图图(1)图(2)封面封底3cm3cmccm问题1：现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去3cm．试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是cm，宽是___________cm；问题2：在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度．（1）若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示．若设正方形的边长（即折叠的宽度）为xcm，则包书纸长为cm，宽为cm（用含x的代数式表示）．（2）请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长xcm．109\n图(4)26cm厚1cm18.5cm第23题问题2图图(3)封面封底【答案】解：问题1：，………………………3分问题2：（1），………………………5分（2）由题意，得：；…………7分解得：；…………………8分∴x=2，答：小正方形的边长为2cm．…………………9分91（2022江西省四模，23，9）已知直线于O，现将矩形ABCD和矩形EFGH，如图1放置，直线BE分别交直线于.（1）当矩形ABCD≌矩形EFGH时，（如图1）BM与NE的数量关系是；（2）当矩形ABCD与矩形EFGH不全等，但面积相等时，把两矩形如图2，3那样放置，问在这两种放置的情形中，（1）的结论都还成立吗？如果你认为都成立，请你利用图3给予证明，若认为BM与NE的有不同的数量关系，先分别写出其数量关系式，再证明.（1）BM=NE（2）如图2，3那样放置（1）中的结论都成立,证明:如图3,在矩形ABCD和矩形EFGH中,FN∥EH,,∠FNE=∠BEA,∠EFN=∠A=90°∴△EFN∽△BAE,同理:△BCM∽△EAB∴…………①,………………②①÷②得,109\n又∵EF×HE=AB×BC,∴=1,∴EN=BM【答案】（1）BM=NE…………………………………………………2分（2）如图2，3那样放置（1）中的结论都成立,………………4分证明:如图3,在矩形ABCD和矩形EFGH中,FG∥EH,,∠FNE=∠BEA,∠EFN=∠A=90°∴△EFN∽△BAE,同理:△BCM∽△EAB……………………………6分∴………①,…………②①÷②得,又∵EF×HE=AB×BC,∴=1,∴EN=BM………………………………………9分92（2022·江西省四模，25，10）平面内两条直线∥,它们之间的距离等于.一块正方形纸板的边长也等于.现将这块硬纸板如图所示放在两条平行线上.(1)如图1，将点C放置在直线上,且于O,使得直线与、相交于E、F,证明:的周长等于；请你继续完成下面的探索：(2)如图2，若绕点C转动正方形硬纸板,使得直线与、相交于E、F,试问的周长等于还成立吗?并证明你的结论;(3)如图3，将正方形硬纸片任意放置,使得直线与、相交于E、F,直线与、CD相交于G,H,设AEF的周长为,CGH的周长为,试问,和之间存在着什么关系?试证明你的结论.图1O图2图3【答案】(1)证法一:……………………2分109\n则…………………………………………3分证法二:连结∵,∴..又∵∴……………………………………………2分∴同理.∴……………………………………………3分图4M(1)如图4,过C作于,则∵∴…………………4分同理得…………………5分∴………………6分（3）证明:如图5将分别同时向下平移相同的距离，则和的距离还是，使得经过点C，交AB于M，交AD于N.……………………………………………7分由（2）的证明知过作∥交于.∴四边形为平行四边形.∴………………………………………8分MN图5QPTJ∵作,.则∵∥,∴作∥,∴109\n∵,∴∴≌∴……………………9分同理∴则………………………………………10分93（2022·江西省一模，25，10）某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.活动情境：如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．所得结论：当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：甲：△AEF的边AE=cm，EF=cm；乙：△FDM的周长为16cm；丙：EG=BF.你的任务：（1）填充甲同学所得结果中的数据；（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；109\n（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？【答案】解：（1）AE=3cm，EF=5cm；…………………………2分设AE=x，则EF=8－x，AE=4，∠A=90°，，x=3，∴AE=3cm，EF=5cm.（2）解：如答图1，∵∠MFE=90°，∴∠DFM+∠AFE=90°，又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，∴△AEF∽△DFM，∴，又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5∴，，，，∴△FMD的周长=4++=16.…………………………………4分（3）①乙的结果不会发生变化理由：如答图2，设AF=x，EF=8－AE，，∴AE=4－，同上述方法可得△AEF∽△DFM，=x+8，FD=8－x，则，=16.…………………7分②丙同学的结论还成立证明：如答图2，∵B、F关于GE对称，∴BF⊥EG于P，过G作GK⊥AB于K，∴∠FBE=∠KGE，在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，∴△AFB≌△KEG，∴FB=GK.由上述可知AE=4－，△AFB≌△KEG，∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4－+x，109\nS=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4－+4－+x）=……………………9分S=，（0﹤x﹤8）当x=4,即F与AD的中点重合时,，=24.…………………10分94（2022·江西省一模，21，7）如图,在ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.(1)求证:BE=DG；(2)若∠B=60°,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?并证明你的结论.【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD.∵AE是BC边上的高,且CG是由AE沿BC方向平移而成,∴CG⊥AD,∴∠AEB=∠CGD=90°,∴Rt△ABE≌Rt△CDG.∴BE=DG（2）当BC=3/2AB时，四边形ABFC是菱形.∵AB∥GF，AG∥BF,∴四边形ABFG是平行四边形.109\n∵Rt△ABE中，∠B=60°,∴∠BAE=30°.∴BE=1/2AB.∵BE=CF，BC=3/2AB,∴EF=1/2AB.∴AB=BF∴平行四边形ABFG是菱形95（2022·××省×青岛市二模，23，10）已知：如图①，正方形ABCD的边长是a，正方形AEFG的边长是b，且点F在AD上，连接DB，BF，（以下问题的结果可用a，b表示）.（1）观察计算：△DBF的面积S=（2）图形变式：将图①中的正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转得到图②，其他条件不变，请你求出图②中△DBF的面积S；（3）探究发现：当a>2b时，若把图①中的正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转过程中，△DBF的面积S是否能达到最大值、最小值？如果能达到，请画出图形，并求出最大值、最小值；如果达不到，请说明理由.（图③可用来画图）.解：（1）（2）【答案】解：（1）∵AEFG是正方形，且边长是b，∴Rt△AEF中，由勾股定理可求AF=∴DF=109\n∴…………3分（2）∵BD和AF分别是正方形ABCD与AEFG的对角线∴∠DBF=∠FAG=.∴BD∥AF∴又∵∴…………6分（3）当时，存在最大值和最小值∵△BDF的底边BD=∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时，取得最大值、最小值.当点C、A、F三点在同一直线上时，如图③，连接BF、DF.…………10分96（2022·××省襄阳市一模，19，11）如图1，四边形ABCD是正方形，G在BC的延长线上，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），∠AEF=90°，且AE=EF，连接CF.(1)求证：∠FCG=45°；(2)如图2，当四边形ABCD是矩形，且AB=2AD时，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），∠AEF=90°，且AE=2EF，连接CF，求tan∠FCG的值.BADFGCE图1书BCFDAE图2书G【答案】（1）证明：过F作FH⊥CG于H，……（1分）在正方形ABCD中，∠ABE=900，AB=BC，∵∠AEF=900，∴∠AEB+∠FEH=900，又∵∠BAE+∠AEB=900∴∠BAE=∠FEH……（3分）又∵∠ABE=∠FHE，AE=EF，∴△ABE≌△EHF……（4分）∴BE=FH，AB=EH=BC，∴BE=CH=FH，∴△FCH是等腰直角三角形∴∠FCH=450……（6分）109\n说明：也可以在AB上截取AH′=EC，通过证△AH′E≌△FCE来证明，请参考以上评分说明给分。（2）过F作FH⊥CG于H……（7分）在矩形ABCD中，同（1）理可证∠BAE=∠FEH.……（8分）又∵∠ABE=∠EHF=900，∴△ABE∽△EHF.……（9分）∴===2，∴BC=EH，即BE=CH.……（10分）∴BE=CH=2FH∴tan∠FCH==……（11分）ABCDEF第17题图97（2022·云南省玉溪市一模，17，7）如图，已知四边形是菱形，，，请说明与的数量关系.【答案】EB=BF.在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是菱形,∴∠A=∠C，AD=CD.又DE⊥AB，DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90◦.∴△ADE≌△CDF.（5分）∴AE=CF.∴EB与BF相等.（7分）98（2022·××省枣阳市一模，23，10值）如图1，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．连接GD、FC.(1)求证：△ADG≌△ABE；(2)观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(3)如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝，BC=(、为常数)，E是线段BC上一动点(不含端点B、C)，以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含、的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°.（1分）∵∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，∴∠BAE=∠DAG.（2分）∴△BAE≌△DAG.（3分）（2）∠FCN=45°.（4分）109\n理由：作FH⊥MN于H，如图.∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠FEH=∠BAE.又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△ABE.（5分）∴FH=BE，EH=AB=BC，∴CH=BE=FH.∵∠FHC=90°，∴∠FCH=45°.（6分）（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变.（7分）理由：作FH⊥MN于H，如图.由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG.∵G在射线CD上，∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△AGD，△EFH∽△AEB.（8分）∴EH=AD=BC=，∴CH=BE，（9分）∴.∴在Rt△FCH中，tan∠FCN===.∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=.（10分）99（2022·浙江省宁波市一模，25，10）矩形纸片中，，现将这张纸片按下列图示方式折叠，是折痕．（1）如图1，P，Q分别为，的中点，点的对应点在上，求和的长；（2）如图2，，点的对应点在上，求的长；（3）如图3，，点的对应点在上．(第25题图1)(第25题图2)(第25题图3)①直接写出的长（用含的代数式表示）；②当越来越大时，的长越来越接近于▲．【答案】（1）是矩形中的中点，，，，，（2），,,，,设，则109\n∽,,，（3）当越来越大时，越来越接近于12．100（2022·浙江省东阳市一模，18，6）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，联结AF、CE．请添加一个你认为合适的条件，使ΔADF≌ΔCBE，并给予证明．【答案】1）添加的条件是：DF=BE2分（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=CB,∠D=∠B在△ADF和△CBE中AD=CB∠D=∠BDF=BE∴△ADF≌△CBE（4分）（添加其他条件的相应给分）101（2022·河南省中招市五模，19，9）如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，交ED于点G.判断CF与ED的位置关系，并说明理由.ABCDFEG【答案】解：垂直.………………………………………1分理由：∵四边形ABCD为正方形∴∠ABD=∠CBD,AB=BC∵BF=BF∴△ABF≌△CBF∴∠BAF=∠BCF………………………………………4分∵在RT△ABE和△DCE中,AE=DE,AB=DC109\n∴RT△ABE≌△DCE∴∠BAE=∠CDE∴∠BCF=∠CDE………………………………………6分∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠BCF+∠DEC=90°∴DE⊥CF.………………………………………9分102（2022·安徽省马鞍山市二模，16，8）图中有两个正方形，小正方形的顶点A、C两点在大正方形的对角形上，ΔHAC是等边三角形，若AB=2，求大正方形的边长。ABEFGHDCO【答案】解：第一步：求出OA=，得AC=AH=2…3分第二步：求出OH=，得出OE=OF=OH=……6分第三步：求出EF=2……8分103（2022·浙江省义乌市一模，19，6）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF＝DC,连结CF．AECBFD（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）证明：是的中点，-(1分)即：D是BC的中点；（3分）109\n（2）四边形ADCF是矩形（4分），四边形ADCF是平行四边形即∴平行四边形ADCF是矩形（6分）109
