知识点24平行四边形（含矩形、菱形和正方形）一、选择题1.（2022年湖北省武汉市九年级元月调考逼真模拟试题二，10，3）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点O在AB上，且OB=1，点P是BC上一动点，连接OP，将线段OP绕点D逆时针旋转90°得到线段OQ.要使点Q恰好落在AD上，则BP的长是()A．1B．2C．3D．4【答案】C2.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷2，9，3）“赵爽弦图”是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（）A．B．C．D．【答案】C3.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷3，6，3）如图，在矩形中，于且则的长度是（）A．3B．5C．D．ＡＢCＤＯＥ【答案】D6.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷3，10，3）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D．53\nADEPBC【答案】A7.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷5，7，3）如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（）。A、12B、18C、24D、30DABCOE【答案】C8.（2022山东省曲阜市实验中学第一次摸底试题，10，分值）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD= 120°，则对角线AC等于（）A．20B．15C．10D．5BACD【答案】D9.（2022河北省初中毕业生升学文化课模拟，8，2）如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为【】A．4B．3C．5D．7ABCDEFO【答案】D53\n10．（2022河北省初中毕业生升学文化课模拟，12，2）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=【】A．2.5ABB．ABC．3.5ABD．4AB【答案】B11.（2022海南省初中毕业升学模拟考试试卷，12,3）如图4，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（）A、1B、C、D、【答案】C12.（2022安徽省淮北市五校联考模拟，9，4）如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（）FEGBAA．1∶2B．4∶9C．1∶4D．2∶3【答案】B13.（2022重庆市一中模拟卷，10，4）如图，正方形中，为上一点，且53\n．为等腰直角三角形，斜边与交于点,延长与的延长线交于点，连接、,作,垂足为，下列结论：①≌；②为等腰直角三角形；③；④；⑤．其中正确的个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C14.（2022重庆市南开中学九年级(下)期中数学试卷，8，4）如图，菱形ABCD的边长为4，点P1在AB边上，且在BC边上截取得点在CD边上截取得点在DA边上截取得点在AB边上截取得点,按此作法进行下去，则点A.在AB边上B．在BC边上C.在CD边上D.在DA边上【答案】C15.（2022重庆市南开中学九年级(下)期中数学试卷，9，4）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC的三等分点（靠近点以），动点F从点C出发沿运动，当点F与点B重合时停止运动．设点F运动的路程为的面积为y，那么能表示y与x函数关系的大致图象()53\n【答案】D16.（2022重庆市南开中学九年级(下)期中数学试卷，10，4）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点D，CE平分分别交AD、BD于交CD于F，连接OE,下列结论：①其中正确的是()A.①③⑤B.①②④C.①③④D.②③⑤【答案】A17.（2022盐城市初级中学九年级第一次调研考试数学试卷，9，3）已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（▲）53\nBA1DC212BADCBAC12D12BADCABCD【答案】D18.（2022石家庄市初中毕业班调研检测数学试题，11，2）如图，矩形ABCD中，AD=4cm,AB=3cm,动点P从点A开始沿边AD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止，以AP为边在AP的下方做正方形AQEP，设动点P运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD被正方形AQEP覆盖部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图像表示大致是（）【答案】A19.（2022山东省青州市中考数学模拟试卷，5，3）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是（）(A)(2+，)(B)(2-，)(C)(-2+，）（D）(－2-,)ABCOyx【答案】D20.（2022山东省青州市中考数学模拟试卷，6，3）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是（）A、7.5cmB、5.1cmC、5.2cmD、7.2cm53\nABCFE′（）D【答案】B21.（2022山东省青州市中考数学模拟试卷，8，3）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60º，AB＝2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A、2cmB、3cmC、4cmD、3cmABDECF【答案】B21.(2022黄冈市中考数学模拟试题,5,3)如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于ABFCDEO【答案】15.（2022湖北武汉九年级3月月考试题，12，3）在正方形ABCD外取一点E，连结AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB=，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；53\n③S正方形ABCD=4+；其中正确的是（）A．①②③B．只有①③C．只有①D．只有③CB【答案】B16.（2022湖北省天门中学中考数学模拟试题，2，3）边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（）。A．2－B．C．2－D．217.（2022湖北省天门中学中考数学模拟试题，6，3）如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG,,则图中阴影部分的面积为A.B.6C.D.18.（2022年杭州各类高中招生文化考试数学模拟试卷2，9，3）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，53\n，BE=2，则tan∠DBE的值是（ ▲ ）A．B．2C．D．【答案】B19。2022年杭州各类高中招生文化考试数学模拟试卷2，10，3如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是（▲）A．6B．8C．9.6D．10AGBHCFDE【答案】C二、填空题1.（2022年湖北省武汉市九年级元月调考逼真模拟试题二，15，3）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心D所经过的路径总长为（结果保留）【答案】（8，+4）53\n2.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷2，16，3）如图,正方形ABCO放在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，A、C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为（－4，4）。已知点E、点F分别从A、点B同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度在线段AB上来回运动.点F沿B→C→0方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动.,当点F到达点O时，E、F两点都停止运动.在E、F的运动过程中，存在某个时刻，使得△OEF的面积为6.那么点E的坐标为▲。【答案】（－4，4－2）（－4，2）（－4，2）（写出一个2分，两个3分，三个4分）3.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷4，13，4）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是 ．ＡDFCBE【答案】164.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷4，22，4）如图：正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M、交AB于点N，交CB的延长线于点P，若MN＝1，PN＝3，则DM的长为。【答案】25.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷5，24，4）如图，在等腰梯形中，，，，相交于点，且，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是．53\n【答案】166.（2022年杭州市第一次中考模拟考试，15，4）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC＝8，BD＝6，以OC、OB为边作矩形OBEC，矩形OBEC的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于．【答案】7.（2022年杭州市第一次中考模拟考试，16，4）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 ．【答案】8.（2022廊坊市安次区初中毕业生升学文化课第一次模拟考试，16，3）如图，菱形的对角线相交于点请你添加一个条件：，使得该菱形为正方形．53\nABCDDCBAOO【答案】（答案不唯一，根据定义或判定）9.（2022廊坊市安次区初中毕业生升学文化课第一次模拟考试，18，3）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为．……【答案】10．（2022泰顺七中2022年初中毕业生学业考试模拟，15，5）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为S，则△DCF的面积为【答案】2S11.（2022山东省曲阜市实验中学第一次摸底试题，19，分值）如图，正方形的边长为1，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，连接，则=．【答案】12.（2022山东省潍坊市中考模拟试卷，15，5）在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（0，4），点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为.53\n【答案】(2,4－2)13.（2022山东省潍坊市中考模拟试卷，16，5）如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，A=900,AB=2,BC=3,AD=4,E为BC的中点，F为CD的中点，P为AD上一动点（不与A、D重合），由A向D运动，速度为1cm/s，设四边形PEFD的面积为y，当运动时间为x秒时，y与x的函数关系式是.【答案】y=－x14.（2022山东省潍坊市中考模拟试卷，17，5）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是.【答案】S2=S1+S315.（2022甘肃省兰州市二模，27，3）如图所示，一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上任取一点M，将△ABM沿AM翻折后B到B＇后置，若B＇恰为AC的中点，则 .53\nCDABB/M【答案】连结BB/、AC，∵B＇为AC的中点，∴AB＇=CB＇，∵AB＇=AB，∴△ABB＇为等边三角形，∵∠ABC=900，∴∠ACB=300，∴16.（2022石家庄市初中毕业班调研检测数学试题，18，3）如图，在矩形ABCD中，EH∥FG∥AD,EH,FG分别交AC于点M,N,EF=，设四边形AMHD的面积为S1，四边形EFNM的面积为S2，三角形NCG的面积为S3，则S1，S2，S3的数量关系是【答案】17.（2022湖北省天门中学中考数学模拟试题，8，3）如图，在正方形ABCD中，AB=4，0为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙02，则图中阴影部分的面积=．18.（2022年苏州市中考数学模拟试卷，18，3）如图10所示，小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图10a，AD>CD)沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图10b）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG(如图10c)．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为________．53\n【答案】19.（2022·××省××市X模，18，3）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上(如图(1))，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°(如图(2))，若AB＝4，BC＝3，则图(1)中B点的坐标为______，C点的坐标为______；图(2)中B点的坐标为______，C点的坐标为______．【答案】三、解答题1.（2022年湖北省武汉市九年级元月调考逼真模拟试题一，21，7）如图，要设计一本连环画书的封面，封面长8cm，宽6cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形。如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，且上、下边衬等宽．左、右边衬等宽．那么上、下边衬的宽度是多少？【答案】上、下边衬的宽为（4-2）cm2.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷3，18，8）如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长．53\nAcEcDcFcBcCcGc【答案】（1）证明：为正方形，又（2）解：为正方形，又正方形的边长为4．3.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷3，23，12）如图，的直径和是它的两条切线，切于E，交AM于D，交BN于C．设．（1）求证：；（2）求关于的关系式；（3）求四边形的面积S，并证明：．OADEMCBN【答案】证明：（1）∵AB是直径，AM、BN是切线，∴，∴．53\nOADEMCBNF解：（2）过点D作于F，则．由（1），∴四边形为矩形.∴，．∵DE、DA，CE、CB都是切线，∴根据切线长定理，得，．在中，，∴，化简，得．（3）由（1）、（2）得，四边形的面积，即．∵，当且仅当时，等号成立．∴，即．4.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷3，20，10）如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF,（1）四边形ABCD为平行四边形。（2）求证：OB2=OE·OF（3）连接BD，若∠OBC=∠ODC,求证，四边形ABCD为菱形。EDCBFAO【答案】(1)∵DE∥BC53\n∴∠D=∠BCF∵∠EAB=∠BCF∴∠EAB=∠D∴AB∥CD∵DE∥BC∴四边形ABCD为平行四边形EDCBFAO（2）∵DE∥BC∴∵AB∥CD∴∴∴EDCBFAOH（3）连结BD,交AC于点H,连结OD∵DE∥BC∽53\n四边形ABCD为菱形5.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试题卷5，20，10）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，为的中点，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，且（1）求的值；（2）连结求证：四边形是菱形．ycQcAcCcPcBcOcxc【答案】解：（1）令，得即令，得即2分轴，3分又为的中点，为中点．是的中位线，4分53\n又5分把代入，得6分（2）证明：由（1）可知，且8分四边形是菱形．10分6.（2022张家港市二中市一模，26，6）如图，在等腰梯形中，是边上的一点，过点作交边于点是的中点，连结并延长交的延长线于点求证：ADCHFEBG【答案】7.（2022泰顺七中2022年初中毕业生学业考试模拟，24，14）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②求S的最大值．PMQNE53\n【答案】解：(1)当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．∴SΔAPE=．……………………………4分(2)①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．……………………2分当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．……………………………2分当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．……………………………2分故S关于t的函数关系式为②当0≤t≤6时，S的最大值为；…………………………1分当6≤t≤8时，S的最大值为；…………………………1分当8≤t≤10时，S的最大值为；…………………………1分所以当t=8时，S有最大值为．…………………………1分8.（2022福建省大田二中初三数学中考模拟，23，12）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°,BC＝6,AD＝3,∠DCB＝30°,点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动。已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在BC的上方作等边△EFG，设E点移动距离为。53\n（本题满分14分）(1)△EFG的边长是_____________（用含有的代数式表示），当＝2时，点G的位置在__________。(2)若用表示△EFG与梯形ABCD重叠部分面积，求①当时，与之间的函数关系式；②当时，与之间的函数关系式；（3）探求（2）中得到的函数在取何值时，存在最大值，并求出最大值。CBEFDAGCBEFDAG备用图【答案】9.（2022常州市中考模拟测试，24，7）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。【答案】（1），1分是的中点，．2分53\n，4分（2）四边形是矩形，是的中点 ，5分，四边形是平行四边形6分又四边形是矩形．7分10．（2022常州市中考模拟测试，29，9）已知点A、B分别是轴、轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数图像的其中一个伴侣正方形。（1）若某函数是一次函数，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m<2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？。(本小题只需直接写出答案)【答案】53\n11.（2022山东省潍坊市中考模拟试卷，21，9）已知，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC.（1）求证：BG=FG(2)若AD=DC=2,求AB的长。【答案】解：(1)连结EC，∵DE⊥AC∴∠EAF+∠FEA=900,∠ACB+∠EAF=900∴∠AEF=∠ACB,∵AE=AC,∴∠AEC=∠ACE,∴∠GEC=∠GCE,∴EG=GC,∵∠EBG=∠GFC=900,∠BGE=∠FGC,∴△BEG≌△FCG,∴BG=FG分(2)∵AD=CD,DE⊥AC,∴DE是线段AC的垂直平分线，则AE=CE,53\n△AEC为等边三角形，则∠EAC=600,在Rt△AFD中，AD=2,∠DAF=300,∴AF=从而有AB=AF=…………9分12.（2022甘肃省兰州市一模，18，8）如图：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AB=20cm，CD=8cm。等边三角形PMN的边长MN=20cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等边三角形PMN沿AB所在的直线匀速向右移动，直到点M与点B重合为止。（1）等边三角形PMN在整个运动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由形变为形，再变为形；（2）设等边三角形移动距离x（cm）时，等边三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠的部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【答案】略13.（2022甘肃省兰州市四模，19，8）如图，是平行四边形的对角线上的点，．请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．猜想：证明：ABCDEF【答案】猜想：，ABCDEF图19－12341证明：证法一：如图19－1四边形是平行四边形．又53\nABCDEF图19－2Ｏ证法二：如图19－2连结，交于点，连结，．四边形是平行四边形，又四边形是平行四边形14.（2022甘肃省兰州市二模，30，12）阅读材料，回答问题如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从A向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从D向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤6），那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积；你有什么发现？（3）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？APBCDQ【答案】（1）对于任意时刻的t有：AP=2t，DQ=t，AQ=6-t，当AQ=AP时，△AQP为等腰直角三角形……2分即6-t=2t，∴t=2，∴当t=2时，△QAP为等腰直角三角形.……4分（2）在△AQC中，AQ=6-t，AQ边上的高CD=12，∴S△AQC=在△APC中，AP=2t，AP边上的高CB=6，53\n∴S△APC=………6分∴四边形QAPC的面积SQAPC=S△AQC+S△APC=36-6t+6t=36（cm2）经计算发现：点P、Q在运动的过程中，四边形QAPC的面积保持不变.………8分（3）根据题意，应分两种情况来研究：①当时，△QAP∽△ABC，则有，求得t=1.2（秒）……9分②当时，△PAQ∽△ABC，则有，求得t=3（秒）……11分∴当t=1.2或3秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.……12分APBCDQ15.（2022海南省初中毕业升学模拟考试试卷，23,11）如图，是同一直线上的三个点，四边形与四边形都是正方形．连接．（1）①求证：=；②图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由．（2）若正方形的边长是1，延长BG恰好交于DE的中点M，求DC+CE的值．【答案】(1)①略②存在，△DCE可由△BCG绕点C顺时针旋转90°得到；(2)连结BD.BD=53\n∵△BCG≌△DCE∴∠CBG=∠CDE又∵∠CDE+∠MEC=90°∴∠CBG+∠MEC=90°∴BM⊥DE又∵M是DE的中点∴BE=BD=∴DC+CE=BC+CE=16.（2022海南省初中毕业升学模拟考试试卷，24,13）（本题满分13分）已知：如图8，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A(0,6)，D(4，6），且AB＝.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC=S梯形ABCD?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)B(-2,0)(2)(3)存在。当y=0时，∴∴D(6,0)设点P的纵坐标为y,BC=8,AD=4.∴∴y=±9当y=9时，，此方程无实数解；当y=-9时，，解得所以，P点的坐标为或17.（2022江苏省镇江市外国语学校摸弄试卷，26，8）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P。若AE＝AP＝1，PB＝。（1）求证：△APD≌△AEB；（2）探究EB与ED的位置关系，并说明理由；53\n（3）求正方形ABCD的面积【答案】①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠EAB=PAD，又∵AE=AP，AB=AD，∴△APD≌△AEB；②∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，∴EB⊥ED；③∵EF=BF=，AE=1，∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+，∴S正方形ABCD=4+18.（2022安徽省淮北市五校联考模拟，21，12）如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸。A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元。探究1：如果木板边长为2米，FC＝1米，则一块木板用墙纸的费用需____元；探究2：如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；探究3：设木板的边长为a，当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最省？【答案】（1）220……………………………………………………………2分（2）y=20x2—20x+60…………………………………………………5分53\n当x=时，y小=55元。…………………………………………7分（3）y=20x2—20ax+60a2………………………………………………10分当x=a时墙纸费用最省……………………………………………12分19.（2022江苏省盐城市射阳模摸底考试，21，8）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．(写出一种即可)关系：①AB∥DC，②AD＝BC，③∠A＋∠B＝180°，④∠B＝∠D．已知：在四边形ABCD中，，；求证：四边形ABCD是平行四边形．ABCD【答案】20．（2022江苏省盐城市射阳模摸底考试，23，10）如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F．连接CE．(1)求△CDE的周长；(2)连接AF，四边形AECF是什么特殊的四边形？说明你的理由．ABCDFOF【答案】(1)得到AO＝CO……1′，得到CE＝AE………2′，解得△CDE的周长为10cm……4′(2)四边形AECF是菱形………………………5′，说明理由(略)……………………………8′21.（2022江苏省盐城市射阳模摸底考试，27，12）如图(1)，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．(1)判断CN、DM的关系，并说明理由；(2)设CN、DM的交点为H，连接BH，如图(2)，求证：△BCH是等腰三角形；(3)将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图(3)，求tan∠DEM．53\n【答案】解：(1)CM＝DM，CN⊥DM………………1′证得△AMD≌△DNC……………2′证得CN＝DM．……………………………3′证得CN⊥DM……………………4′(2)延长DM、CB交于点P．证得BP＝BC．………7′证得△BCH是等腰三角形．………8′(3)设AD＝4k，解得DE＝5k．………………10′解得A′E＝3k……………………11′解得tan∠DEM＝…………………………12′22．（2022河北省一模拟考试，26，12）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO的面积．将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S．（1）求正方形ODEF的边长；（2）①正方形ODEF平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S＞0）的变化情况是；A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大②当正方形ODEF顶点O移动到点C时，求S的值；（3）设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为x，求重叠部分面积S与x的函数关系式．AyxBCODEFy（备用图）AxBCO【答案】解：（1）∵SODEF=SABCO=（4+8）×6=36 设正方形的边长为x，∴x2=36，x=6或x=-6（舍去）．（2）①C．②S=（3+6）×2+6×4=33．（3）①当0≤x＜453\n时，重叠部分为三角形，如图①．可得△OM∽△OAN，∴，．∴．②当4≤x＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．S=（x-4+x）×6×=6x-12③当6≤x＜8时，重叠部分为五边形，如图③．可得，MD=（x-6），AF=x-4．S=（x-4+x）-×（x-6）（x-6）=-x2+15x-39．④当8≤x＜10时，重叠部分为五边形，如图④．S==-x2+15x-39-（x-8）×6=-x2+9x+9．⑤当10≤x＜14时，重叠部分为矩形，如图⑤．S=［6-（x-8）］×6=-6x+84．（用其它方法求解正确，相应给分）ABCOxyDEF（图②）ABCOxyDEFM（图③）ABCOxyDEFMN（图①）AOxBCyDEFM（图④）xABCOyDEF（图⑤）．23．（2022珠海市香洲区中考模拟考试数学试卷，15，6）设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE作第二个正方形AEGH，如此下去…(1)记正方形ABCD的边长为=1，按上述方法所作的正方形边长依次为，请求出的值；(2)根据以上规律写出的值.【答案】解：⑴53\n……2分……3分……4分24.（2022珠海市香洲区中考模拟考试数学试卷，21，9）已知，如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.(1)求证：BE=DG；(2)∠若B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.ADGCBFE【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴．∵是边上的高，且是由沿方向平移而成．∴．∴．∵，∴．∴．(2）当时，四边形是菱形．∵，，∴四边形是平行四边形．ADGCBFE∵中，，∴，∴．∵，∴．53\n∴．∴四边形是菱形．25.（2022舟山市岱山县中考数学一模，22,10）如图，四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1)求证：DE－BF=EF．(2)当点G为BC边中点时,试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．(3)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,BF⊥AG,DE⊥AG∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°∴∠BAF=∠ADE∴△ABF≌△DAE∴BF=AE,AF=DE∴DE－BF=AF－AE=EF（2）EF=2FG理由如下：∵AB⊥BC,BF⊥AG,AB=2BG∴△AFB∽△BFG∽△ABG∴∴AF=2BF,BF=2FG由(1)知,AE=BF，∴EF=BF=2FG(3)如图……………………9分DE+BF=EF26．（2022广东中考数学模拟，18,9）如图，正方形中，点在边上，点在边上，．⑴线段和相等吗？说明理由；⑵求证：．53\nDABCEF【答案】略证：⑴，（AAS）；⑵27.（2022盐城市初级中学九年级第一次调研考试数学试卷，20，8）如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点AcEcDcFcBcCcGc（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求sin∠G的值．【答案】（1）略（2）28.（2022安徽省马鞍山市成功学校中考数学一模试题，23，14）在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，BD2＝AB2＋AD2，又CD＝AB，AD＝BC，所以AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋AD2＝2（AB2＋BC2）．小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：（1）如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）； （2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明； （3）如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长。（结果用a，b，c表示） 图1图253\n图3图4【答案】（1）如图2，设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA，BD＝2OB．在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，∴AC2＋BD2＝4OA2＋4OB2＝4（OA2＋OB2）＝4AB2，又∵AB＝BC，∴AC2＋BD2＝2（AB2＋AB2）＝2（AB2＋BC2）． （2）小明的猜想成立．证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F， 则∠AEB＝∠DFC＝90°． ∵四边形ABCD是平等四边形，∴AB＝DC，AB∥CD，∴∠ABE＝∠DCF，∴△ABE≌△DCF，∴AE＝DF，BE＝CF．在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2＝AE2＋（BC－BE）2，BD2＝DF2＋BF2＝DF2＋（BC＋CF）2＝AE2＋（BC＋BE）2，∴AC2＋BD2＝2AE2＋2BC2＋2BE2＝2（AE2＋BE2）＋2BC2．又AE2＋BE2＝AB2，故AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）．（3）延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，CE，则AE＝2AD． ∵BD＝CD，∴四边形ABEC是平行四边形．53\n由（2）的结论，得 AE2＋BC2＝2（AB2＋AC2）， 即（2AD）2＋a2＝2（b2＋c2），解得AD2＝， 故AD＝．29.（2022安徽省马鞍山市成功学校中考数学一模试题，23，14）如图，直角梯形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，AD=10，CD=8，BC=16，E为BC上一点，且CE=6，过点E做EF⊥AD于点F，交对角线BD于点M。动点P从点D出发，沿折线DAB方向以2个单位长度/秒的速度向终点B匀速运动，运动时间为t秒。(1)求DE的长；(2)设△PMA的面积为S，求S与t的函数关系式（写出t的取值范围）；（3）当t为何值时，△PMA为等腰三角形。【答案】解：(1)∵∠C=90°，CD=8，CE=6，∴DE=10；(2)①当点P在DA上时，即0≤t≤5时，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AD∥BC，∠C=90°。又∵EF⊥AD，∴∠C=∠FEB=90°，∴tan∠DBC=，∴ME=BEtan∠DBC=5，∴MF=3，∴S△APM=×AP×MF=×3×(10－2t)=－3t+15(0≤t≤5)；②当点P在AB上时，即5≤t≤10时，∵AD∥BC，且AD=BE，∴四边形ABED为平行四边形，又∵AD=DE=10，∴四边形ABED为菱形，∴AB=BE，∠ABD=∠DBE，BM=BM，∴△ABM≌△EBM；∴∠BAM=∠BEM=90°，AM=ME=5，53\n∴S△APM=×AP×MA=×5×(2t－10)=5t－25(5≤t≤10)；ABECDFMMPH(3)（ⅰ）当点P在DA上时，①若MA=MP，∵MF⊥AD，∴AP=2AF，又∵AM=5，FM=3，∴AF=4，∴AP=2AF=8，8=10－2t，∴t=1；②若AM=AP，∴AP=5,5=10－2t，∴t=；③若PM=PA，过点P作PH⊥AM于点H,∵∠PHA=∠MFA=90°,∠PAH=∠MAF,∴△AHP∽△AFM，∴AH=,∴AM=2AH，，∴t=；（ⅱ）当点P在AB上时，∵∠BAM=90°，∴只有AM=AP，∴2t－10=5，∴t=；综上所述，当t=1或t=或t=或t=时，△PMA为等腰三角形．30.（2022山东省青州市中考数学模拟试卷，23，10）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD。BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．CDABEFNM（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．【答案】解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．∵AB∥CD，53\n∴DG＝CH，DG∥CH．∴四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．CDABEFNMGH∵DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，∴△AGD≌△BHC（HL）．∴AG＝BH＝＝3．∵在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，∴DG＝4．∴．CDABEFNMGH（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，∴ME＝NF，ME∥NF．∴四边形MEFN为矩形．∵AB∥CD，AD＝BC，∴∠A＝∠B．∵ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，∴△MEA≌△NFB（AAS）．∴AE＝BF．设AE＝x，则EF＝7－2x．∵∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，∴△MEA∽△DGA．∴．∴ME＝．∴．当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．31.（2022湖南省中考数学模拟试题，21，10）（１）顺次连接菱形的四条边的中点，得到的四边形是 ．（２）顺次连接矩形的四条边的中点，得到的四边形是 ．（３）顺次连接正方形的四条边的中点，得到的四边形是 ．53\n（４）小青说：顺次连接一个四边形的各边的中点，得到的一个四边形如果是正方形，那么原来的四边形一定是正方形，这句话对吗？请说明理由．【答案】（１）矩形；（２）菱形，（３）正方形（４）小青说的不正确如图，四边形ABCD中AC⊥BD，AC＝BD，BO≠DO，E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点显然四边形ABCD不是正方形但我们可以证明四边形ABCD是正方形（证明略）所以，小青的说法是错误的32.（2022湖北省枝江市中考数学十校联考试题，23,10）如图甲，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF＝90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．（1）若m＝n时，如图乙，求证：EF＝AE；（2）若m≠n时，如图丙，试问边OB上是否还存在点E，使得EF＝AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若m＝tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF＝(t＋1)AE成立？并求出点E的坐标．FOAxyCEB甲FOAxyCEB丙FOAxyCEB乙【答案】解：（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．如图，在OA上取点G，使AG=BE，则OG=OE．∴∠EGO=45°，从而∠AGE=135°．由BF是外角平分线，得∠EBF=135°，∴∠AGE=∠EBF．∵∠AEF=90°，∴∠FEB+∠AEO=90°．在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°，∴∠EAO=∠FEB，∴△AGE≌△EBF，∴EF=AE．53\n（2）在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．理由如下：假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．∴FH=OE，EH=OA．∴点F的纵坐标为a，即FH=a．由BF是外角平分线，知∠FBH=45°，∴BH=FH=a．又由C（m，n）有OB=m，∴BE=OB－OE=m－a，∴EH=m－a+a=m．又EH=OA=n，∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．………………………………6分（3）如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH－OE=h+m－a．由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，且，即，整理得nh=ah+am－a2，∴．把h=（t+1）a代入得，即m－a=（t+1）（n－a）．而m=tn，因此tn－a=（t+1）（n－a）．化简得ta=n，解得．∵t＞1，∴＜n＜m，故E在OB边上．∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．…………10分（用其他方法可灵活处理）33.（2022湖北省枝江市中考数学十校联考试题，24,11）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝|CE－EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由．（2）令m＝，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．53\n（3）在（2）的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2＋bx＋c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式．ACBFOEGHyMNQx（4）在（3）的条件下，若抛物线y＝mx2＋bx＋c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）EO＞EC，理由如下：由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC，故EO＞EC（2）m为定值∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC)·CO∴（3）∵CO=1，∴EF=EO=∴cos∠FEC=∴∠FEC=60°，∴∴△EFQ为等边三角形，作QI⊥EO于I，EI=，IQ=∴IO=∴Q点坐标为∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)，Q，m=1∴可求得，c=153\n∴抛物线解析式为（4）由（3），当时，＜AB∴P点坐标为∴BP=AO方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：①时，∴K点坐标为或②时，∴K点坐标为或故直线KP与y轴交点T的坐标为方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°①当∠RTP=30°时，②当∠RTP=60°时，∴34.（2022湖北省天门中学中考数学模拟试题，15，10）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等，一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、．小明在探究线段与的数量关系时，从点、向对边作垂线段、53\n，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.35.（2022北京四中10—11下学期初三数学第一次月考考试试卷，23，10）23．已知：△中，分别以、为一边向△外作正方形ABDE和ACFG，高线于H，延长HA交EG于.(1)如图1，当∠BAC＝90°时，直接写出线段PE、PG的数量关系_____________.(2)如图2，当∠BAC≠90°时，上述关系是否成立，给出证明；(3)如图3，若将高线AH改为中线AH，其他条件不变，猜想AH与EG的数量和位置关系，并证明【答案】(1)PE＝PG；(2)成立.证明：(如图)分别过点E、G作EM⊥AH，GN⊥AH，M、N为垂足，∵正方形ABCD中，AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠1＋∠3＝90，53\n∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠EMA＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠3，∴⊿ABH≌⊿EAM，∴EM＝AH，同理NG＝AH，∴EM＝GN，∵EM//NG，∴PE＝PG(3)AH＝EG，AH⊥EG.证明：如图，延长AH到Q使得HQ＝AH，连结BQ，∵BH＝CH，∠BHQ＝∠CHA，∴⊿BHQ≌⊿CHA，∴BQ＝AC＝AG，∠HBQ∠HCA，∴∠ABQ＋∠BAC＝180°，∵∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠EAG＋∠BAC＝180°，∴∠ABQ＝∠EAG，∵AB＝AE，∴⊿ABQ≌⊿EAG，∴∠1＝∠2，EG＝AQ＝2AH，∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴AH⊥EG.36.（2022年苏州市中考数学模拟试卷，28,9）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB＝75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．(1)求∠AED的度数．(2)求证：AB＝BC．(3)若F为线段CD上一点，∠FBC＝30°，求的值．【答案】（1）45°（2）略（3）137.（2022年苏州市中考数学模拟试卷五，29，9）如图(1)，在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB＝9053\n°，OA＝6，AB＝5，cos∠OAB＝．(1)写出顶点A、B、C的坐标；(2)如图(2)，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M，N．设PM＝x，四边形OMPN的面积为y．①求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②是否存在一点P，使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】(1)A(6，0)，B(3，4)，C(0，4)(2)①0<x<4②存在P点(，2)38.（2022年苏州市中考数学模拟试卷三，22，6）如图，在□ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．求证：(1)△ABF≌△DCE；(2)四边形ABCD是矩形．39.（2022年苏州市中考数学模拟试卷三，28，9）如图(1)，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合）．如图(2)，线段CF、BD之间的位置关系为_______，数量关系为_______．②当点D在线段BC的延长线上时，如图(3)，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥53\nBD（点C、F重合除外）?画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）(3)若AC＝4，BC＝3，在(2)的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．【答案】(1)①垂直相等②成立(2)∠BAC＝45°CF⊥BD(3)当x＝2时,CP有最大值1.40.（2022年苏州市中考数学模拟试卷六，24，6）如图，四边形ABCD为矩形，动点E在DC边上移动，但点E不与点D、C重合．(1)当点E移动到什么位置时，△AED≌△BEC？请证明你的结论；(2)当∠AEB为多少度时，△AED∽△EBC?请证明你的结论．【答案】(1)当点E为DC的中点时证明略(2)当∠AEB为90度41.（2022年启东中学中考数学模拟试卷四，28，13）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图16所示，C，D两点的坐标分别为(4，0)，(0，3)．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为ts．(1)填空：菱形ABCD的边长是_______，面积是_______，高BE的长是_______．(2)探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位，当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值．②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4s时的情形，并求出k的值．53\n【答案】（1）5，24，（2）①当时，S取最大值为6②或或42.（2022年启东中学中考数学模拟试卷二，21，14）所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．(1)求证：D是BC的中点．(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）D是BC的中点,证明略（2）矩形43.（2022年启东中学中考数学模拟试卷二，28，14）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3，0)，(0，1)，点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－x＋b交折线OAB于点E．(1)记△ODE的面积为S．求S与b的函数关系式．(2)当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试OA1B1C1探究与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．【答案】53\n（1）（2）不变化面积始终为44.（2022年河南省中招考试第一次模拟考试数学试卷，21，10）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，点P是线段AB上一个动点，点E是CD的中点，延长PE至F，使EF=PE．⑴判定四边形PCFD的形状；⑵当AP的长为何值时，四边形PCFD是矩形；⑶求四边形PCFD的周长的最小值．ABCDPFE【答案】⑴；⑵，△APD∽△BCP．x:4=1:（5−x）．解得x1=1，x2=4；⑶延长DA到G，使AG=AD．当点G、P、C共线时CP+PD最小，值为GC=．所以周长的最小值为．44.（2022年河南省中招考试第二次模拟考试数学试卷，21，10）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，点P是斜边AB上一个动点，点D是CP的中点，延长BD至E，使DE=BD，连结AE．⑴求四边形PCEA的面积；⑵当AP的长为何值时，四边形PCEA是平行四边形；⑶当AP的长为何值时，四边形PCEA是直角梯形．30°ABCDPE【答案】作CH⊥AB，垂足为H，则CH=．连结EP，因为CD=DP，BD=DE，得□PBCE．则CE=PB，EP=CB=2．⑴；⑵当AP=2时，得□PCEA，∵AP=2=PC=EC，且EC∥AP；⑶当AP=3时，P、H重合，EC∥AP，∠CPA=90°，AP=3≠1=PB=EC，得直角梯形PCEA；当AP=1时，△APE是直角三角形，∠EAP=90°，EC∥AP，AP=1≠3=PB=EC，得直角梯形PCEA．53\n45.（2022年杭州中考数学模拟试卷，23，10）已知四边形ABCD，E是CD上的一点，连接AE、BE.（1）给出四个条件:①AE平分∠BAD,②BE平分∠ABC,③AE⊥EB,④AB=AD+BC.请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出AD∥BC的正确命题,并加以证明；（2）请你判断命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是否正确,并说明理由.【答案】如:①②④AD∥BC证明：在AB上取点M,使AM＝AD，连结EM,∵AE平分∠BAD∴∠MAE＝∠DAE又∵AM＝ADAE＝AE，∴△AEM≌△AED∴∠D=∠AME又∵AB=AD+BC∴MB=BC，∴△BEM≌△BCE∠C=∠BME故∠D+∠C＝∠AME+∠BME＝180°∴AD∥BC（2）不正确作等边三角形ABMAE平分∠BAM,BE平分∠ABM且AE、BE交于E，连结EM,则EM⊥AB，过E作ED∥AB交AM于D,交BM与C，则E是CD的中点而AD和BC相交于点M∴命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是不正确的.46.（2022上海卢湾区模拟考试，23，12）已知：如图，梯形中，∥，是的中点，，联结、相交于点，.（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形.53\n【答案】证明：（1）∵BD⊥CD，∴，∵是的中点，∴，∵，∴EF⊥BD，即，∴∥，∵∥，∴四边形是平行四边形，∴.（2）∵四边形是平行四边形，∴，∴=，又∥，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形.47.（2022上海卢湾区模拟考试，25，14）已知：如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，BC⊥AB，AB=8，BC=6．动点E、F分别在边BC和AD上，且AF=2EC．线段EF与AC相交于点G，过点G作GH∥AD，交CD于点H，射线EH交AD的延长线于点M，交于点，设EC=x．（1）求证：；（2）当时，用含的代数式表达的长；（3）在（2）题条件下，若以为半径的与以为半径的相切，求的值.【答案】（1）∵BC∥AD，∴，，∵∥，，53\n∴，∴.（2）∵，AB=8，BC=6，∴，∵BC⊥AB，，∴∵EC=x，∴，∴，∵AF=2EC，由（1）知，∴，∴，∵∥，∴，∴，∴.（3）∵，设，∴，，，当与相外切时，；，解，得，∵，即，由，得，与已知不符，∴（舍）当与相内切时，，①，无解；………………………………………………（1分）②，解，得，，∵，，∴.……………………（2分）综上所述，满足条件的的值为.48.（2022上海浦东新区中考数学模拟试卷，23，12）已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，，DN∥CM，交边AC于点N．（1）求证：MN∥BC；（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．53\nABMNDC【答案】23．（1）证法一：取边BC的中点E，联结ME．∵BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．∴∠MEC=∠NCD．∵，∴．∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．∴△MEC≌△NCD．∴．又∵CM∥DN，∴四边形MCDN是平行四边形．∴MN∥BC．证法二：延长CD到F，使得，联结AF．∵，，∴．∵，∴MC∥AF．∵MC∥DN，∴ND∥AF．又∵，∴．∴MN∥BC．（2）解：当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．证明如下：∵MN∥BD，BM与DN不平行，∴四边形BDNM是梯形．∵∠ACB=90°，，∴．∵，∴BMDN．∴四边形BDNM是等腰梯形．53
