第三章 函数3.1 平面直角坐标系及函数学用P23[过关演练] (30分钟 65分)1.(2022·江苏扬州)在平面直角坐标系的第二象限内有一点M,点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为4,则点M的坐标是(C)A.(3,-4)B.(4,-3)C.(-4,3)D.(-3,4)【解析】由题意,得x=-4,y=3,即点M的坐标是(-4,3).2.在平面直角坐标系中,点P(-2,x2+1)所在的象限是(B)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵x2≥0,∴x2+1≥1,∴点P(-2,x2+1)在第二象限.3.如图,数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围,则这个函数的解析式为(C)A.y=x+2B.y=x2+2C.y=x+2D.y=1x+2【解析】y=x+2,x为任意实数,故A错误;y=x2+2,x为任意实数,故B错误;y=x+2,x+2≥0,即x≥-2,故C正确;y=1x+2,x+2>0,即x>-2,故D错误.4.(2022·重庆)根据如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x值是4或7时,输出的y值相等,则b等于(C)7\nA.9B.7C.-9D.-7【解析】∵当x=7时,y=6-7=-1,∴当x=4时,y=2×4+b=-1,解得b=-9.5.(2022·四川内江)如图,在物理课上,小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则下图能反映弹簧秤的读数y(单位:N)与铁块被提起的高度x(单位:cm)之间的函数关系的大致图象是(C)【解析】露出水面前排开水的体积不变,受到的浮力不变,根据称重法可知y不变;铁块开始露出水面到完全露出水面时,排开水的体积逐渐变小,根据阿基米德原理可知受到的浮力变小,根据称重法可知y变大;铁块完全露出水面后一定高度,不再受浮力的作用,弹簧秤的读数为铁块的重力,故y不变.观察知C项正确.6.(2022·湖北孝感)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,BC=6cm,动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动,若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,P点到达B点时运动停止,则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是(C)【解析】由题意可得PB=3-t,BQ=2t,则△PBQ的面积S=12PB·BQ=12(3-t)×2t=-t2+3t,观察知C项正确.7.某油箱容量为60L的汽车,加满汽油后行驶了100km时,油箱中的汽油大约消耗了15,如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm,油箱中剩油量为yL,则y与x之间的函数解析式和自变量的取值范围分别是(D)A.y=0.12x,x>0B.y=60-0.12x,x>0C.y=0.12x,0≤x≤500D.y=60-0.12x,0≤x≤5007\n【解析】根据题意得汽车行驶每千米耗油0.12L,∴y=60-0.12x,0≤x≤500.8.点P1(-2,3)与点P2关于x轴对称,则点P2的坐标是 (-2,-3) . 【解析】点P1(-2,3)与点P2关于x轴对称,故点P2的坐标是(-2,-3).9.(2022·亳州风华中学期末)油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出,1h流完,则油箱中剩余油量Q(kg)与流出时间t(min)之间的函数关系式是 Q=30-0.5t ;自变量t的取值范围是 0≤t≤60 . 【解析】总油量减去流出的油量,得Q=30-0.5t;剩余油量为非负数,得30-0.5t≥0,解得t≤60,时间为非负数,得t≥0,即自变量t的取值范围是0≤t≤60.10.(2022·四川资阳)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上,点A1在第一象限,且OA=1,以点A1为直角顶点,OA1为一条直角边作等腰直角三角形OA1A2,再以点A2为直角顶点,OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,…,依此规律,则点A2022的坐标是 (0,21009) . 【解析】由已知,点A每次旋转转动45°,则转动一周需转动8次,每次转动,点A到原点的距离变为转动前的2倍,∵2022=252×8+2,∴点A2022在y轴的正半轴上,OA2022=(2)2022=21009.11.(10分)如图,△ABC在平面直角坐标系中.(1)把△ABC向上平移3个单位,再向右平移1个单位得△A'B'C',在图中画出两次平移后得到的图形△A'B'C',并写出点A',B',C'的坐标;(2)如果△ABC内部有一点P,根据(1)中所述平移方式得到对应点P',如果点P'的坐标是(a,b),那么点P的坐标是 . 解:(1)画出两次平移后得到的图形△A'B'C',如图所示,其中A'(0,2),B'(5,5),C'(2,6).7\n(2)令P点坐标为(x,y),则由题意得x+1=a,y+3=b,解得x=a-1,y=b-3,即点P的坐标为(a-1,b-3).12.(12分)一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地,一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地,两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的对应关系如图所示.(1)甲、乙两地相距多远?快车和慢车的速度分别是多少?(2)求出两车相遇后y与x之间的函数关系式.(3)何时两车相距300千米?解:(1)由图得,甲、乙两地相距600千米,慢车总用时10小时.慢车速度为60010=60(千米/小时),设快车速度为x千米/小时,由图得60×4+4x=600,解得x=90,所以慢车速度为60千米/小时,快车速度为90千米/小时.(2)60090=203,60×203=400(千米),时间为203小时时快车已经到达,此时慢车走了400千米,可得拐点坐标为203,400,利用待定系数法得y=150x-600 4≤x<203,60x 203≤x≤10,所以两车相遇后,y与x之间的函数关系式为y=150x-600 4≤x<203,60x 203≤x≤10.(3)设a小时时,两车相距300千米,分两种情况:①相遇前两车相距300千米,由题意得60a+90a=600-300,解得a=2;②相遇后两车相距300千米,由题意得60a+90a=600+300,解得a=6.所以2小时或6小时时,两车相距300千米.[名师预测]1.若点P(2x-4,6-2x)在第四象限,则x的取值范围是(A)A.x>3B.x>2C.2<x<3D.无解【解析】因为点P(2x-4,6-2x)在第四象限,所以2x-4>0,6-2x<0,解得x>3.2.在平面直角坐标系中,将点(-b,-a)称为点(a,b)的“关联点”.例如点(-2,-1)是点(1,2)的“关联点”.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内,那么这一点所在的象限为(C)7\nA.第一、二象限B.第二、三象限C.第二、四象限D.第一、三象限【解析】设点(a,b)的关联点为(-b,-a),若(a,b)与(-b,-a)在同一象限,则a·(-b)>0,b·(-a)>0,即ab<0,故该点在第二象限或第四象限.3.如图,菱形ABCD的边长是4cm,∠B=60°,动点P以1cm/s的速度自点A出发沿AB方向运动至B点停止,动点Q以2cm/s的速度自点B出发沿折线BCD运动至点D停止.若点P,Q同时出发运动了t秒,记△BPQ的面积为Scm2,下面图象中能表示S(cm2)与t(秒)之间的函数关系的是(D)【解析】当0≤t<2时,S=12×2t×32×(4-t)=-32t2+23t;当2≤t≤4时,S=12×4×32×(4-t)=-3t+43.观察知只有选项D的图形符合.4.对点(x,y)的一次操作变换记为P1(x,y),定义其变换法则如下:P1(x,y)=(x+y,x-y),且规定Pn(x,y)=P1(Pn-1(x,y))(n为大于1的整数),如P1(1,2)=(3,-1),P2(1,2)=P1(P1(1,2))=P1(3,-1)=(2,4),P3(1,2)=P1(P2(1,2))=P1(2,4)=(6,-2),则P2022(1,-1)=(D)A.(0,21009)B.(0,21008)C.(21008,-21008)D.(21009,-21009)【解析】根据题意得P1(1,-1)=(0,2),P2(1,-1)=(2,-2),P3(1,-1)=(0,4),P4(1,-1)=(4,-4),P5(1,-1)=(0,8),P6(1,-1)=(8,-8),…,当n为偶数时,Pn(1,-1)=2n2,-2n2,则P2022(1,-1)=(21009,-21009).5.函数y=x+2的自变量x的取值范围是 x≥-2 . 【解析】由二次根式知x+2≥0,解得x≥-2.6.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点).(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;(2)将△A1B1C1经过两次平移后,使△A1B1C1的一个顶点与图中的点P重合,请写出一种平移方式.7\n解:(1)如图所示.(2)本题答案不唯一,如△A1B1C1先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度后点B1与点P重合.7.在平面直角坐标系中,以任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为x1+x22,y1+y22.【运用】(1)如图,矩形ONEF的对角线交于点M,ON,OF分别在x轴和y轴上,O为坐标原点,点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为 ; (2)在平面直角坐标系中,有A(-1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点D与点A,B,C一起构成平行四边形的顶点,求点D的坐标.解:(1)2,32.(2)设点D的坐标为(x,y).若以AB为一条对角线,AC,BC为邻边构成平行四边形,则AB,CD的中点重合,∴1+x2=-1+32,4+y2=2+12,解得x=1,y=-1.若以BC为一条对角线,AB,AC为邻边构成平行四边形,则AD,BC的中点重合,∴-1+x2=1+32,2+y2=4+12,解得x=5,y=3.若以AC为对角线,AB,BC为邻边构成平行四边形,则BD,AC的中点重合,∴3+x2=-1+12,1+y2=2+42,解得x=-3,y=5.7\n综上可知,点D的坐标为(1,-1)或(5,3)或(-3,5).7
