第4讲 二次函数1．(2022年广东珠海)对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0)，(3,0)两点，则它的对称轴为________．2．(2022年广东深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图347，下列正确的个数为( )①bc>0；②2a－3c<0；③2a＋b>0；④ax2＋bx＋c＝0有两个解x1，x2，x1>0，x2<0；⑤a＋b＋c>0；⑥当x>1时，y随x增大而减小．图347A．2个B．3个C．4个D．5个3．(2022年广东佛山)利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根．(精确到0.1)4．(2022年广东佛山)如图348(1)，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0,3)，B(3,0)，C(4,3).(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S[图348(2)中阴影部分]．(1) (2)图3487\n5．(2022年广东广州)已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0，a≠c)过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限．(1)用a，c表示b；(2)判断点B所在象限，并说明理由；(3)若直线y2＝2x＋m经过点B，且与该抛物线交于另一点C，求当x≥1时，y1的取值范围．6．(2022年广东茂名节选)如图349，抛物线y＝ax2＋x＋c经过原点O和点A(4,2)，与x轴交于点C，点M，N同时从原点O出发，点M以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，点N以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，当其中一个点停止运动时，另一点也随之停止．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)在点M，N运动过程中，若线段MN与OA交于点G，试判断MN与OA的位置关系，并说明理由．图349A级 基础题1．(2022年浙江丽水)若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2,4)，则该图象必经过点( )A．(2,4) B．(－2，－4) C．(－4,2)D．(4，－2)2．(2022年海南)将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位3．(2022年浙江宁波)如图3410，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3,0)，下列结论中，正确的一项是( )7\n图3410A．abc＜0 B．2a＋b＜0 C．a－b＋c＜0 D．4ac－b2＜04．(2022年贵州遵义)已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如下图，其中正确的是( )ABCD5．(2022年四川内江)若抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点为(0，－3)，则下列说法不正确的是( )A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是x＝1C．当x＝1时，y的最大值为－4 D．抛物线与x轴的交点为(－1,0)，(3,0)6．(2022年江苏徐州)二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：x…－3－2－101…y…－3－2－3－6－11…则该函数图象的顶点坐标为( )A．(－3，－3)B．(－2，－2)C．(－1，－3)D．(0，－6)7．(2022年广东佛山禅城模拟)函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点，则c的值为__________．8．(2022年北京)请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式______________．9．(2022年浙江湖州)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3,0)，B(－1,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标．B级 中等题10．(2022年广西南宁)如图3411，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1<x<a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )图3411A．a>1B．－1<a≤1C．a>0D．－1<a<17\n11．(2022年广东深圳宝安模拟)一个一次函数的图象与二次函数y＝－x2＋x的图象只有一个公共点，这时自变量x＝1.那么这个一次函数的表达式是____________．12．(2022年广东)已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式；(2)如图3412，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短．若点P存在，求出点P的坐标；若点P不存在，请说明理由．图3412C级 拔尖题13．(2022年广东汕尾)如图3413，已知抛物线y＝x2－x－3与x轴的交点为A，D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C.(1)直接写出点A，D，C的坐标；(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标．图34137\n第4讲 二次函数【真题·南粤专练】1．x＝2 2.B3．解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图7.图7由图象可知，方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，x＝－0.4(或x＝－0.5)是方程的一个近似根．同理，x＝2.4(或x＝2.5)是方程的另一个近似根．4．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0,3)，B(3,0)，C(4,3)，∴解得∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3.(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2.(3)如图8，∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴PP′＝1.阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积＝1×2＝2，∴阴影部分的面积为2.图8 图95．解：(1)抛物线过点A(1,0)，则有a＋b＋c＝0，即b＝－a－c.(2)点B在第四象限．理由如下：∵x1＝1，x2＝，a≠c，∴抛物线与x轴有两个交点．∵抛物线不经过第三象限，∴a>0，且顶点在第四象限．∴点B在第四象限．(3)∵C，且在抛物线上，∴b＋8＝0，b＝－8，∴a＋c＝－b＝8.则B，C.把点B，C的坐标代入y2＝2x＋m，7\n得①－②，得－＝.化简，得c(a＋2)＝24.又∵a＋c＝8，则有c(8－c＋2)＝24.解得c＝4或c＝6.当c＝4时，a＝8－c＝4.又a≠c，故舍去；当c＝6时，a＝8－c＝2.画图易知(如图9)，点C在点A的右侧，∴当x≥1时，y1≥＝－2.6．解：(1)将点O(0,0)，点A(4,2)代入解析式得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x.令y＝0，则有0＝－x2＋x.解得x1＝0，x2＝6.故点C的坐标为(6,0)．(2)MN⊥OA.理由如下：过点A作AB⊥x轴于点B，则OB＝4，AB＝2.由已知，可得＝＝.∴Rt△MON∽Rt△OBA.∴∠NMO＝∠AOB，∠MNO＝∠OAB.又∵∠AOB＋∠OAB＝90°，∴∠AOB＋∠MNO＝90°.∴∠OGN＝90°.∴MN⊥OA.【演练·巩固提升】1．A 2.A 3.D 4.D 5.C 6.B7．0 8.y＝2x2＋x＋1(满足a＞0，c＝1即可)9．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3,0)，B(－1,0)，∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)，即y＝－x2＋2x＋3.(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．10．B11．y＝－x＋1 (提示：设直线y＝kx＋b，该直线与抛物线y＝－x2＋x满足x＝1，与判别式Δ＝0建立方程组即可求得)12．解：(1)将点O(0,0)代入，解得m＝±1.二次函数关系式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x.(2)当m＝2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴D(2，－1)．当x＝0时，y＝3，∴C(0,3)．(3)存在．连接C，D交x轴于点P，则点P为所求．由C(0,3)，D(2，－1)求得直线CD为y＝－2x＋3.当y＝0时，x＝，∴P.13．解：(1)∵y＝x2－x－3，7\n∴当y＝0时，x2－x－3＝0.解得x1＝－2，x2＝4.当x＝0，y＝－3.∴点A坐标为(4,0)，点D坐标为(－2,0)，点C坐标为(0，－3)．(2)∵y＝x2－x－3，∴对称轴为直线x＝＝1.∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知：点M与点C关于直线x＝1对称，∵C点坐标为(0，－3)，∴M点坐标为(2，－3)．②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知：点M到x轴的距离等于点C到x轴的距离．当y＝3时，x2－x－3＝3，解得x1＝1＋，x2＝1－.∴M点坐标为(1＋，3)或(1－，3)．综上所述，所求M点坐标为(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)．7
