专题十 动态问题⊙热点一：点动(2022年山东烟台)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．(1)如图Z106①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；(2)如图Z106②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图Z106③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE和DF，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图Z106④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最小值．① ②③ ④图Z1066\n⊙热点二：线动1．如图Z107，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D.设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是( )图Z107A B C D2．(2022年广东)如图Z108，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10cm，AD＝8cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．图Z108 图Z109(备用图)(1)当t＝2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．6\n⊙热点三：面动(2022年江苏连云港)如图Z1010，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．图Z10106\n专题十 动态问题【提升·专项训练】热点一 解：(1)AE⊥DF.理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°.∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF(SAS)．∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF.由于∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°.∴∠APD＝90°，即AE⊥DF.(2)是．(3)成立．理由如下：由(1)，同理可证∠DAE＝∠CDF.如图112，延长FD交AE于点G，则∠CDF＋∠ADG＝180°－∠ADC＝90°.∴∠ADG＋∠DAE＝90°.∴∠AGD＝90°，即AE⊥DF.图112 图113(4)如图113，由于点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路径是以AD为直径的圆的一段的弧．设AD的中点为O，连接OC，交弧于点P，此时CP的长度最小．在Rt△ODC中，OC＝＝＝.∴CP＝OC－OP＝－1.热点二1．A2．(1)证明：如图114，连接DE，DF，当t＝2时，DH＝AH＝4，则H为AD的中点．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线．∴AE＝DE，AF＝DF.∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠B＝∠C.∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.∴∠AEF＝∠AFE.∴AE＝AF.∴AE＝AF＝DE＝DF，即四边形AEDF为菱形．图114 图115(2)解：如图115，由(1)知，EF∥BC.∴△AEF∽△ABC.∴＝，即＝.解得EF＝10－t.S△PEF＝EF·DH＝·2t6\n＝－t2＋10t＝－(t－2)2＋10.∴当t＝2时，S△PEF存在最大值，最大值为10.此时BP＝3t＝6.(3)解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如图116①，此时PE∥AD，PE＝DH＝2t，BP＝3t.∵PE∥AD，∴△BPE∽△BDA.∴＝，即＝.此比例式不成立，故此种情形不存在．②若点F为直角顶点，如图116②，此时PF∥AD，PF＝DH＝2t，BP＝3t，CP＝10－3t.∵PF∥AD，△CPF∽△CDA.∴＝，即＝.解得t＝.① ② ③图116③若点P为直角顶点，如图116③.过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM＝FN＝DH＝2t，EM∥FN∥AD.∵EM∥AD，∴＝，即＝.解得BM＝t.∴PM＝BP－BM＝3t－t＝t.在Rt△EMP中，由勾股定理，得PE2＝EM2＋PM2＝(2t)2＋2＝t2.∵FN∥AD，∴＝，即＝.解得CN＝t.∴PN＝BC－BP－CN＝10－3t－t＝10－t.在Rt△FNP中，由勾股定理，得PF2＝FN2＋PN2＝(2t)2＋2＝t2－85t＋100.在Rt△PEF中，由勾股定理，得EF2＝PE2＋PF2，即2＝t2＋.化简，得t2－35t＝0.解得t＝或t＝0(舍去)．综上所述，当t＝秒或t＝秒时，△PEF为直角三角形．热点三(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABD＝∠CDB.6\n∵由翻折性质，得∠EBD＝∠ABD，∠BDF＝∠CDB，∴∠EBD＝∠BDF.∴BE∥DF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴DE∥BF.∴四边形BFDE为平行四边形．(2)解：∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠DBF＝30°.∵∠C＝90°，∴BD＝4.由勾股定理，得BC＝2.6
