专题五 方案与设计⊙热点一：图案设计1．(2022年湖南怀化)两个城镇A，B与两条公路ME，MF位置如图Z54，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．(1)那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)；(2)设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN＝2(＋1)km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．图Z542．(2022年江苏无锡)如图Z55，下面给出的正多边形的边长都是20cm，请分别按下列要求设计一种剪拼方法(用虚线表示你的设计方案，剪拼线段用粗黑实线表示，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明)．(1)将图Z55(1)中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；(2)将图Z55(2)中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；(3)将图Z55(3)中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等．图Z555\n⊙热点二：方案设计1．(2022年广西桂林)在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案．方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元．设方案一的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案二的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．(1)直接写出y1，y2与x的函数关系式；(2)如图Z56，在同一平面直角坐标系内，画出函数y1，y2的图象；(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？图Z562．(2022年湖南衡阳)某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本价格为2(单位：元/本)，中性笔价格为1(单位：元/支)，且每种奖品至少买1件．(1)若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；(2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；(3)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．5\n⊙热点三：最值问题1．(2022年辽宁沈阳)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为________元．2．(2022年辽宁丹东)在2022年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元，销售量为y套．(1)求出y与x的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是多少？3．(2022年江苏南通)某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y(单位：万元)与销售产品x(单位：吨)之间存在二次函数关系y＝ax2＋bx.当x＝1时，y＝1.4；当x＝3时，y＝3.6.信息2：销售B种产品所获利润y(单位：万元)与销售产品x(单位：吨)之间存在正比例函数关系y＝0.3x.根据以上信息，解答下列问题；(1)求二次函数解析式；(2)该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？5\n专题五 方案与设计【提升·专项训练】热点一1．解：(1)答图如图98.图98 图99(2)如图99，作CD⊥MN，交MN于点D.由题意，得∠CMN＝30°，∠CND＝45°.∵在Rt△CMD中，＝tan∠CMN，∴MD＝＝CD.∵在Rt△CND中，＝tan∠CNM，∴ND＝＝CD.∵MN＝2(＋1)km，∴MN＝MD＋DN＝CD＋CD＝2(＋1)．解得CD＝2.∴点C到公路ME的距离为2km.2．解：(1)如图100(1)，沿黑实线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可；(2)如图100(2)，沿黑实线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可；(3)如图100(3)，沿黑实线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可． 图100热点二1．解：(1)由题意，得y1＝250x＋3000，y2＝500x＋1000.(2)如图101.5\n图101(3)由图象，可知：①当使用时间大于8个月时，直线y1落在直线y2的下方，y1＜y2，即方案一省钱；②当使用时间小于8个月时，直线y2落在直线y1的下方，y2＜y1，即方案二省钱；③当使用时间等于8个月时，y1＝y2，即方案一与方案二一样省钱．2．解：(1)根据题意，得2x＋y＝15.∴y＝15－2x.(2)购买方案：x＝1，y＝13；x＝2，y＝11；x＝3，y＝9；x＝4，y＝7；x＝5，y＝5；x＝6，y＝3；x＝7，y＝1.∴共有7种购买方案．(3)∵买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为.热点三1．25 解析：设利润为w元，则w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25.∵20≤x≤30，∴当x＝25时，二次函数有最大值25.2．解：(1)由题意，得y＝240－×20.∴y＝－4x＋480.(2)根据题意，可得x(－4x＋480)＝14000.解得x1＝70，x2＝50(不合题意，舍去)．∴当销售单价为70元时，月销售额为14000元.(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得w＝(x－40)(－4x＋480)＝－4x2＋640x－19200＝－4(x－80)2＋6400.当x＝80时，w的最大值为6400.∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．3．解：(1)∵当x＝1时，y＝1.4；当x＝3时，y＝3.6，∴解得∴二次函数解析式为y＝－0.1x2＋1.5x.(2)设购进A产品m吨，购进B产品(10－m)吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W元，则W＝－0.1m2＋1.5m＋0.3(10－m)＝－0.1m2＋1.2m＋3＝－0.1(m－6)2＋6.6.∵－0.1＜0，∴当m＝6时，W有最大值，最大值为6.6.答：购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．5
