第2讲 三角形第1课时 三角形1．(2022年广东深圳)如图429，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加图429下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF( )A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F2．(2022年广东)如图4210，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若BC＝6，则DE＝________.图4210 图42113．(2022年广东汕尾)如图4211，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D.若∠A′DC＝90°，则∠A＝________.4．(2022年广东珠海)如图4212，已知EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E，求证：BC＝DC.图42125．(2022年广东佛山)课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实．(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；(2)证明推论AAS.[要求：叙述推论用文字表达；用图形(如图4213)中的符号表达已知、求证，证明的各步骤要注明依据]图421314\n6．(2022年广东茂名)如图4214，已知在矩形ABCD中，F是BC上的一点，且AF＝BC,DE⊥AF，垂足是E，连接DF.求证：(1)△ABF≌△DEA；(2)DF是∠EDC的平分线．图421414\nA级 基础题1．(2022年湖南衡阳)如图4215，∠1＝100°，∠C＝70°，则∠A的大小是( )A．10°B．20°C．30°D．80°图4215 图4216 图4217 图42182．(2022年湖北宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )A．1,2,6B．2,2,4C．1,2,3D．2,3,43．(2022年广东汕头)如图4216，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C.若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是( )A．110° B．80° C．40° D．30°4．(2022年湖北宜昌)如图4217，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝( )A．30°B．45°C．60°D．90°5．王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，如图4218.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条( )A．0根B．1根C．2根D．3根6．(2022年山东德州)不一定在三角形内部的线段是( )A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线7．(2022年辽宁铁岭)如图4219，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组是( )A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC,AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D图4219 图4220 图42218．(2022年山东济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图4220，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边的距离相等9．(2022年广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( )A．17 B．15 C．13 D．13或1710．如图4221，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC＝12，∠B＝30°，则DE的长是( )A．6 B．4 C．3 D．214\n11.(2022年湖南邵阳)将一副三角板拼成如图4222所示的图形，过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图422212．(2022年山东菏泽)如图4223，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC.(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．图4223B级 中等题13．(2022年黑龙江)如图4224，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( )A．15°B．20°C．25°D．30°图4224 图422514．(2022年山东济南)如图4225，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2.若S△ABC＝6，则S1－S2的值为________．C级 拔尖题14\n15．(2022年黑龙江齐齐哈尔)在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A，且MN∥BC，以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D(不与点A重合)在直线MN上，如图4226(1)，DE与AC交于点P，易证：BD＝DP.(无需写证明过程)(1)在图4226(2)中，DE与CA的延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；(2)在图4226(3)中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明． 图4226第2课时 等腰三角形与直角三角形1．(2022年广东肇庆)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )A．16B．18C．20D．16或202．(2022年广东广州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )A.B.C.D.3．(2022年广东深圳)如图4234，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形．若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为( )A．6 B．12 C．32 D．64图4234 图4235 图42364．(2022年广东深圳)如图4235，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝________.5．(2022年广东湛江)如图4236，所有正三角形的一边都平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8……顶点依次用A1，A2，A3，A4……来表示，其中A1A2与x轴，底边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8……均相距一个单位，则顶点A3的坐标是__________，A92的坐标是____________．14\n6．(2022年广东肇庆)如图4237，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB是等腰三角形．图42377．(2022年广东梅州)用如图4238所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：(1) (2)图4238 (1) (2) 图4239探究一：将以上两个三角形按图4239(1)拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P.(1)当点P运动到∠CFB的平分线上时，连接AP，求线段AP的长；(2)当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图4239(2)，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M，N两点，连接MN，在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．14\nA级 基础题1．(2022年新疆)等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )A．12B．15C．12或15D．182．(2022年湖北武汉)如图4240，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )A．18°B．24°C．30°D．36°图4240 图4241 图4242 图4243 图42443．(2022年四川南充)如图4241，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为( )A．30° B．36° C．40° D．45°4．(2022年山东德州)如图4242，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为( )A．68°B．32°C．22°D．16°5．如图4243，等腰△ABC的底边BC＝16，底边上的高AD＝6，则腰AB的长为________．6．(2022年山东泰安)如图4244，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是________．7．(2022年吉林)如图4245，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________.图4245 图4246 图42478．如图4246，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点．若CD＝5cm，则EF＝________cm.14\n9．(2022年福建莆田)如图4247所示的是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是________．10．证明等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合．14\nB级 中等题11．(2022年浙江绍兴)在如图4248所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是__________．图4248 图424912．(2022年湖北襄阳)在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图4249所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是______________．13．(2022年辽宁沈阳)如图4250，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF＝2AE;(2)若CD＝，求AD的长．图4250C级 拔尖题14．(2022年江西)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：[操作发现]在等腰三角形ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图4251(1)，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论：①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB.其中正确的是____________(填序号即可)．[数学思考]在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图4251(2)，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．[类比探索]在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图4251(3)，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：____________________.(1) (2) (3)图425114\n第2讲 三角形第1课时 三角形【真题·南粤专练】1．C 2.3 3.55°4．证明：∵∠BCE＝∠DCA，∴∠BCE＋∠ACE＝∠DCA＋∠ACE，即∠BCA＝∠DCE.∵AC＝EC，∠A＝∠E，∴△BCA≌△DCE(ASA)．∴BC＝DC.5．解：(1)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(2)已知：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°(三角形内角和定理)，又∠A＝∠D，∠B＝∠E(已知)，∴∠C＝∠F(等式的性质)．在△ABC和△DEF中，∵∠B＝∠E(已知)，BC＝EF(已知)，∠C＝∠F(已证)，∴△ABC≌△DEF(ASA)．6．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAE＝∠AFB.∵DE⊥AF,∴∠DEA＝∠B＝90°.∵AF＝BC，∴AF＝AD.∴△ABF≌△DEA.(2)证法一，由(1)知，△ABF≌△DEA.∴DE＝AB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，DC＝AB.∴DC＝DE.∵∠DEA＝90°，∴∠C＝∠DEF＝90°.∵DF＝DF，∴△DCF≌△DEF(HL)．∴∠EDF＝∠CDF.∴DF是∠EDC的平分线．证法二，由(1)知，△ABF≌△DEA.∴BF＝EA.∵AF＝BC，∴EF＝CF.∵∠DEA＝90°，∴∠C＝∠DEF＝90°.∴DF是∠EDC的平分线．【演练·巩固提升】1．C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.C 7.C 8.A 9.A 10.B11．(1)证明：由三角板的性质，可知：∠D＝30°，∠3＝45°，∠DCE＝90°.∵CF平分∠DCE，∴∠1＝∠2＝∠DCE＝45°.∴∠1＝∠3.∴CF∥AB.(2)解：由三角形内角和定理，得∠DFC＝180°－∠1－∠D＝180°－45°－30°＝105°.12．(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠DBE＝180°－∠ABC＝90°.∴∠ABE＝∠CBD.在△ABE和△CBD中，∴△ABE≌△CBD(SAS)．(2)解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ECA＝45°.∵∠CAE＝30°，∠BEA＝∠ECA＋∠EAC，∴∠BEA＝45°＋30°＝75°.14\n由(1)知，∠BDC＝∠BEA.∴∠BDC＝75°.13．D 14.115．解：(1)BD＝DP成立．证明：如图11，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形．∴DA＝DF.∵∠1＋∠ADB＝90°，∠ADB＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.在△BDF与△PDA中，∵∠1＝∠2，DF＝DA，∠DFB＝∠DAP＝45°，∴△BDF≌△PDA(ASA)．∴BD＝DP.图11 图12(2)BD＝DP.证明：如图12，过点D作DF⊥MN，交BA的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形．∴DA＝DF.在△BDF与△PDA中，∠F＝∠PAD＝45°，DF＝DA，∠BDF＝∠PDA.∴△BDF≌△PDA(ASA)．∴BD＝DP.第2课时 等腰三角形与直角三角形【真题·南粤专练】1．C 2.A 3.C 4.35．(0，－1) (31，－31) 解析：由图知，A3的纵坐标为：A2A3·sin60°－1＝2×－1＝－1.∴A3.而A2的横坐标为：A2A3·sin30°＝2×＝1.由题意知，A2的纵坐标为－1.∴A2.容易发现A2，A5，A8，…，A92这些点在第四象限，横纵坐标互为相反数，A2，A5，A8，…，A92的下标2,5,8，…，92，得规律：92＝3n－1.解得n＝31.∴A92是第31个正三角形(从里往外)的右端点．∴A92.6．证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BCA＝90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵AB＝BA，AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴BC＝AD.(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠CAB＝∠DBA.∴OA＝OB.∴△OAB是等腰三角形．7．解：探究一：(1)如图13，过点A作AG⊥BC，垂足为G.当点P运动到∠CFB的角平分线上时，则∠CFP＝30°.∴CF＝BC·tan30°＝3×＝，CP＝CF·tan∠CFP＝×＝1.在Rt△BAC中，∵∠ABC＝45°，∴AG＝BG＝BC＝.∴GP＝CG＝CP＝－1＝.14\n在Rt△AGP中，AP＝＝＝.图13 图14(2)如图14，以点A为圆心，以FC＝为半径画弧，与BC交于点P1，P2，则AP1＝AP2＝.过点A作AG⊥BC，垂足为G.在Rt△AP1G中，AP1＝CF＝，AG＝，则P1G＝＝＝.∴∠P1AG＝30°.∴∠P1AB＝45°－30°＝15°.同理，求得∠P2AG＝30°，∠P2AB＝45°＋30°＝75°.∴∠PAB的度数为15°或75°.探究二：△AMN的周长存在最小值．如图15，连接AD.图15∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，∴AD＝CD，∠C＝∠MAD＝45°.∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠MDA＝∠NDC.在△AMD与△CND中，∴△AMD≌△CND(ASA)．∴AM＝CN.设AM＝x，则CN＝x，AN＝AC－CN＝BC－CN＝－x.在Rt△AMN中，由勾股定理，得MN＝＝＝＝.△AMN的周长为：AM＋AN＋MN＝＋.当x＝时，有最小值为.∴△AMN周长的最小值为.【演练·巩固提升】1．B 2.A 3.B 4.B 5.10 6.2 7.2 8.5 9.1010．证明：已知如图16，在△ABC中，AB＝AC，作顶角A的平分线交底边BC于点D.14\n图16求证：BD＝CD，AD⊥BC.证明：在△BAD与△CAD中，∵∴△BAD≌△CAD(SAS)．∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴AD⊥BC.这也就证明等腰三角形的顶角平分线AD平分底边并且垂直底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边，等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直底边．这也就证明了性质2.11．12° 解析：设∠A＝x.∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x.∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x.∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，…，∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x.∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x.在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°，即x＋7x＋7x＝180°.∴x＝12°，即∠A＝12°.12．2或6 解析：如图17(1)，以点B为直角顶点，BD为斜边上的中线．在Rt△ABD中，可得BD＝.∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是2；如图17(2)，以点A为直角顶点，AC为斜边上的中线，在Rt△ABC中，可得AC＝3.∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是6.(1) (2)图1713．(1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°.∴AD＝BD.∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°.∴∠CAD＝∠CBE.又∵∠CDA＝∠BDF＝90°，∴△ADC≌△BDF(ASA)．∴AC＝BF.∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝EC，即AC＝2AE.∴BF＝2AE.(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF＝CD＝.∴在Rt△CDF中，CF＝＝2.∵BE⊥AC，AE＝EC，∴AF＝FC＝2.∴AD＝AF＋DF＝2＋.14．解：[操作发现]①②③④[数学思考]MD＝ME，MD⊥ME.证明如下：14\n图18①MD＝ME.如图18，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG.∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MF＝AC.又∵EG是等腰直角三角形AEC斜边上的中线，∴EG⊥AC，且EG＝AC.∴MF＝EG.同理，可证DF＝MG.∵MF∥AC，∴∠MFA＋∠BAC＝180°.同理，可得∠MGA＋∠BAC＝180°.∴∠MFA＝∠MGA.又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°.同理，可得∠DFA＝90°.∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＋∠EGA，即∠DFM＝∠MGE.又MF＝EG，DF＝MG，∴△DFM≌△MGE(SAS)．∴MD＝ME.②MD⊥ME.如图18，设MD与AB交于点H.∵AB∥MG，∴∠DHA＝∠DMG.又∵∠DHA＝∠FDM＋∠DFH，即∠DHA＝∠FDM＋90°.∵∠DMG＝∠DME＋∠GME，∴∠DME＝90°.即MD⊥ME.[类比探索]等腰直角三角形14
