第1讲 方程与方程组第1课时 一元一次方程和二元一次方程组1．(2022年广东广州)已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是( )A.B.C.D.2.(2022年广东湛江)请写出一个二元一次方程组____________，使它的解是3．解方程组：(1)(2022年广东)(2)(2022年广东广州)4.(2022年广东茂名节选)在信宜市某“三华李”种植基地有A，B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多2元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需20元．问A，B两种树苗每株分别是多少元？A级 基础题1．一元一次方程2x－3＝9的解为( )A．x＝5 B．x＝6 C．x＝－6 D．x＝－52．已知x，y满足方程2x＋y＝5，则满足条件的x，y值为( )A.B.C.D.3．(2022年广西南宁)陈老师打算购买气球装扮学校六一儿童节的活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位．已知第一、二束气球的价格如图212，则第三束气球的价格为( )图212A．19元 B．18元 C．16元 D．15元4．铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．若每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；若每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是( )A．5(x＋21－1)＝6(x－1)B．5(x＋21)＝6(x－1)C．5(x＋21－1)＝6x D．5(x＋21)＝6x5．已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝2，则m＝________.6．(2022年贵州毕节)二元一次方程组的解是________．7．湖南省2022年赴台旅游人数达7.6万人．某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x13\n元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为____________________．8．(2022年江西)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支中性笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支中性笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．B级 中等题9．(2022年贵州安顺)4xa＋2b－5－2y3a－b－3＝8是二元一次方程，那么a－b＝______.10．(2022年辽宁鞍山)若方程组则3(x＋y)－(3x－5y)的值是________．11．若是方程3x＋y＝1的一个解，则15a＋5b＋4＝________.12．解方程组：C级 拔尖题13．一种蔬菜加工后出售，单价可提高20%，但质量减少10%.现有未加工的这种蔬菜30千克，加工后可以比不加工多卖12元，则这种蔬菜加工前和加工后每千克各卖多少元？设这种蔬菜加工前每千克卖x元，加工后每千克卖y元，根据题意，所列方程组正确的是( )A.B.C.D.14．(2022年湖南永州)中国现行的个人所得税法自2022年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：一、以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；二、个人所得税纳税率如下表：纳税级数个人每月应纳税所得额纳税税率1不超过1500元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%4超过9000元至35000元的部分25%5超过35000元至55000元的部分30%6超过55000元至80000元的部分35%7超过80000元的部分45%(1)若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人每月应缴纳的个人所得税；(2)若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月工资收入额应为多少？13\n第2课时 分式方程1．(2022年广东梅州)分式方程＝1的解是________．2．(2022年广东深圳)小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分钟，求小朱的速度．若设小朱的速度是x米/分钟，则根据题意所列方程正确的是( )A.－＝10B.＝＋10C.＝＋10D.－＝103．(2022年广东佛山)解分式方程：＝.4．(2022年广东珠海)解方程：－＝1.5．(2022年广东)某品牌瓶装饮料每箱价格是26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”的促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？6．(2022年广东)某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%.(1)求这款空调每台的进价；(2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？13\nA级 基础题1．(2022年重庆)关于x的方程＝1的解是( )A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝12．(2022年湖南永州)下面是四位同学解方程＋＝1过程中去分母的一步，其中正确的是( )A．2＋x＝x－1 B．2－x＝1 C．2＋x＝1－x D．2－x＝x－13．(2022年宁夏)甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x吨/小时，依题意列方程正确的是( )A.＝B.＝ C.＝D.＝4．(2022年安徽)方程＝3的解是x＝________.5．(2022年甘肃白银)若代数式－1的值为零，则x＝________.6．2022年6月1日起，国家实施了《中央财政补贴条例》，支持高效节能电器的推广使用．某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元．若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为________元．7．(2022年湖南常德)解方程：＝.8．当x为何值时，分式的值比分式的值大3?13\n9．(2022年北京)小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．B级 中等题10．(2022年黑龙江牡丹江)若关于x的分式方程＝1的解为正数，那么字母a的取值范围是__________．11．若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是__________．12．(2022年广东江门模拟)今年植树节，某学校计划安排教师植树300棵，教师完成植树120棵后，学校全体团员加入植树活动，植树速度提高到原来的1.5倍，整个植树过程共用了3小时．(1)学校原计划每小时植树多少棵？(2)如果团员全程参加，那么整个植树过程需要多少小时完成？C级 拔尖题13．某运动会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．(1)该商场两次共购进这种运动服多少套？(2)如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？第3课时 一元二次方程13\n1．(2022年广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( )A．m> B．m<C．m＝D．m<－2．(2022年广东广州)若5k＋20<0，则关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0的根的情况是( )A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法判断3．(2022年广东广州)已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．4．(2022年广东佛山)方程x2－2x－2＝0的解是____________．5．(2022年广东广州)解方程：x2－10x＋9＝0.6．(2022年广东梅州)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．7．(2022年广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？A级 基础题1．方程x2－4＝0的根是( )A．x＝2 B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝42．用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方程变形正确的是( )A．(x－1)2＝2B．(x－1)2＝4C．(x－1)2＝1 D．(x－1)2＝73．方程4x2＝5x＋2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是( )A．4x2,5x,2 B．－4x2，－5x，－2 C．4x2，－5x，－2D．4x2，－5x,24．(2022年广东深圳)下列方程没有实数根的是( )A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝013\nC．x2－2x＋3＝0 D．(x－2)(x－3)＝125．(2022年四川成都)一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根6．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( )A．1 B．－1C.D．－7．(2022年湖南张家界)已知关于x的方程x2＋2x＋k＝0的一个根是－1，则k＝________.8．(2022年山东青岛)某企业2022年底缴税40万元，2022年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为x，根据题意，可列方程__________________．9．解方程：(x－3)2＋4x(x－3)＝0.B级 中等题10．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是________个．11．(2022年陕西)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为( )A．1或4B．－1或－4C．－1或4D．1或－412．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．13．(2022年江苏淮安)小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？13\nC级 拔尖题14．(2022年青海西宁)已知函数y＝kx＋b的图象如图213，则一元二次方程x2＋x＋k－1＝0根的存在情况是( )图213A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定13\n15.(2022年重庆綦江)随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？(2)若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)13\n第二章 方程与不等式第1讲 方程与方程组第1课时 一元一次方程和二元一次方程组【真题·南粤专练】1．C 2.(答案不唯一)3．解：(1)把①代入②，得2(y＋1)＋y＝8.解得y＝2.把y＝2代入①，解得x＝3.∴原方程组的解是(2)①＋②，得4x＝20.解得x＝5.将x＝5代入①，解得y＝－3.∴原方程组的解为4．解：设A种树苗每株x元，B中树苗每株y元，由题意，得解得答：A种树苗每株8元，B种树苗每株6元．【演练·巩固提升】1．B 2.A 3.C 4.A 5.16. 7.20000－3x＝50008．解：设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，由题意，得解得答：每支中性笔的价格为2元，每盒笔芯的价格为8元.9．0 10.2411．9 解析：把a，b代入方程得3a＋b＝1，则15a＋5b＝5，原式＝5＋4＝9.12．解：原方程组可化为①×2＋②，得11x＝22.∴x＝2.把x＝2代入①，解得y＝3.∴原方程组的解为13．B 解析：根据题意，加工前的质量是30千克，则加工后的质量是30(1－10%)千克，那么加工前的总价是30x元，加工后的总价是30(1－10%)y元．依题意，故选B.14．解：(1)甲个人每月应纳税所得额：4000－3500＝500(元)．甲每月应缴纳的个人所得税为：500×3%＝15(元)．乙个人每月应纳税所得额：6000－3500＝2500(元)．乙每月应缴纳的个人所得税为：1500×3%＋(2500－1500)×10%＝145(元)．答：甲、乙两人每月应缴纳的个人所得税分别为15元和145元．(2)设丙每月工资收入额应为x元，则1500×3%＋(x－3500－1500)×10%＝95，解得x＝5500.答：丙每月工资收入额应为5500元．第2课时 分式方程【真题·南粤专练】1．x＝1 2.B3．解：去分母，得2(a＋1)＝－(a＋4)．解得a＝－2.经检验，a＝－2是原分式方程的解．4．解：去分母，得x(x＋2)－1＝x2－4.去括号，得x2＋2x－1＝x2－4.解得x＝－.经检验，x＝－是原分式方程的解．13\n5．解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得－＝0.6.化简，得x2＋3x－130＝0.解得x1＝－13(舍去)，x2＝10.经检验，x＝10符合题意．答：该品牌饮料一箱有10瓶．6．(1)解：设进价为x元，由题意，得9%＝.解得x＝1200.经检验，x＝1200是原方程的解．答：这款空调每台进价为1200元．(2)(1635×0.8－1200)×100＝10800(元)．答：在这次促销活动中，商场销售这款空调机100台，盈利10800元．【演练·巩固提升】1．B 2.D 3.B 4.6 5.36．2200 解析：设条例实施前此款空调的售价为x元，由题意列方程，得(1＋10%)＝.解得x＝2200.7．解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得x＋2＝2.解得x＝0.经检验，x＝0是原方程的解．所以，原方程的解是x＝0.8．解：由题意列方程，得－＝3.解得x＝1.经检验，x＝1是原方程的解．9．解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，由题意，得＝.解得x＝0.18.经检验，x＝0.18为原方程的解．答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．10．a＞1，且a≠2 11.2或112．解：(1)设学校原计划每小时植树x棵，依题意，得＋＝3.解方程，得x＝80.经检验，x＝80是原方程的解．答：学校原计划每小时植树80棵．(2)如果团员全程参加，那么整个植树过程需要＝＝2.5(小时)．答：如果团员全程参加，那么整个植树过程需要2.5小时完成．13．解：(1)设商场第一次购进x套运动服，由题意，得－＝10.解得x＝200.经检验，x＝200是原方程的解．2x＋x＝2×200＋200＝600(套)，13\n所以商场两次共购进这种运动服600套．(2)设每套运动服的售价为y元，由题意，得≥20%.解不等式，得y≥200.所以每套运动服的售价至少是200元．第3课时 一元二次方程【真题·南粤专练】1．B 2.A 3.－3 4.x1＝＋1，x2＝－＋15．x1＝9，x2＝16．(1)解：设方程的另一根为x1，解得a＝，x1＝－.(2)证明：Δ＝a2－4×(a－2)＝(a－2)2＋4.∵(a－2)2≥0，∴Δ>0.∴无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．7．解：(1)设捐款增长率为x，根据题意，得10000(1＋x)2＝12100.解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．∴x＝0.1＝10%.答：捐款增长率为10%.(2)12100×(1＋0.1)＝13310(元)．答：第四天该单位能收到13310元捐款．【演练·巩固提升】1．C 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B7．1 8.40(1＋x)2＝48.49．解：(x－3)2＋4x(x－3)＝0，因式分解，得(x－3)(x－3＋4x)＝0.整理，得(x－3)(5x－3)＝0.于是得x－3＝0或5x－3＝0.解得x1＝3，x2＝.10．7 11.B12．解：∵关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，∴解得即m，n的值分别是1，－2.13．解：设购买了x件这种服装，根据题意，得[80－2(x－10)]x＝1200.解得x1＝20，x2＝30.当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装．14．C 解析：根据函数图象确定k<0，再根据判别式得到1－4(k－1)>0.故选C.15．解：(1)设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要(x－5)个月，由题意，得x(x－5)＝6(x＋x－5)．整理，得x2－17x＋30＝0.解得x1＝2(不合题意，舍去)，x2＝15.故x＝15，x－5＝10.答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．13\n(2)设在完成这项工程中甲队做了m个月，则乙队做了个月．由题意知，乙队每月的施工费为150万元．根据题意列不等式，得100m＋150·≤1500.解得m≤8.∵m为整数，∴m的最大整数值为8.答：完成这项工程，甲队最多施工8个月．13
