课时知能训练一、选择题1．(2012·广州模拟)若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5【解析】 设圆心为(a,0)(a＜0)，则r＝＝，解得a＝－5，所以，圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.【答案】 D2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )A．8B．－4C．6D．无法确定【解析】 因为圆上两点A、B关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心(－，0)，从而－＋3＝0，即m＝6.【答案】 C3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )A．3－B．3＋C．3－D.【解析】 圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离d＝＝，则点C到直线AB的最短距离为－1，又|AB|＝2，S△ABC的最小值为×2×(－1)＝3－.【答案】 A4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1【解析】 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)，则⇒代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.【答案】 A3\n5．(2011·重庆高考)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．5B．10C．15D．20【解析】 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心F(1,3)半径r＝，由题意知AC⊥BD，且AC＝2，|BD|＝2＝2，所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|＝－×2×2＝10.【答案】 B二、填空题6．(2012·潮州模拟)直线x－2y－2k＝0与2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的范围是________．【解析】 由，得.∴(－4k)2＋(－3k)2＞9，即25k2＞9，解得k＞或k＜－.【答案】 (－∞，－)∪(，＋∞)7．圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且与y轴交于点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程是________．【解析】 圆心也在直线y＝－3上，故圆心为(2，－3)，半径为.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.【答案】 (x－2)2＋(y＋3)2＝58．(2012·佛山模拟)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切．则圆C的方程为________．【解析】 由题意可得圆心(－1,0)，圆心到直线x＋y＋3＝0的距离即为圆的半径，故r＝＝，所以圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.【答案】 (x＋1)2＋y2＝2三、解答题9．(2011·福建高考改编)已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．【解】 法一 依题意，点P的坐标为(0，m)，因为MP⊥l，所以×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)，从而圆的半径r＝|MP|＝＝2，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.法二 设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则3\n解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.10.图8－3－1如图8－3－1，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在边AD所在直线上．求：(1)边AD所在直线的方程；(2)矩形ABCD外接圆的方程．【解】 (1)∵直线AB的斜率为，AD⊥AB，∴kAD＝－3.∵T(－1,1)在边AD所在直线上，∴直线AD的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.(2)∵点A为直线AB，AD的交点，∴点A坐标为方程组的解，解之得∴A(0，－2)．∵矩形的对角线的交点即为其外接圆的圆心，∴所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.11．已知以点P为圆心的圆过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|＝4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程；(3)设点Q在圆P上，试探究使△QAB的面积为8的点Q共有几个？证明你的结论．【解】 (1)∵kAB＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0，①又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40，②①代入②消去a得b2－4b－12＝0，解得b＝6或b＝－2.当b＝6时，a＝－3，当b＝－2时，a＝5.∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.(3)∵|AB|＝＝4，∴当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为2.又圆心到直线AB的距离为＝4，圆P的半径r＝2，且4＋2＞2，故点Q不在劣弧上，∴圆上共有两个点Q，使△QAB的面积为8.3
