课时知能训练一、选择题 1．(2011·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( )A．－4B．0C.D．4【解析】 表示的平面区域如图所示．z＝3x－y在(2,2)取得最大值．zmax＝3×2－2＝4.【答案】 D图6－3－12．已知动点P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图6－3－1，正六边形边长为2，若使目标函数z＝kx＋y(k＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k值为( )A.B.C.D．4【解析】 由于k＞0，则当直线y＝－kx＋z和正六边形不平行于x轴的一边平行时，目标函数z＝kx＋y的最优解有无穷多个，此时－k＝tan120°＝－，∴k＝.【答案】 A3．(2011·湖北高考)直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )A．0个B．1个C．2个D．无数个【解析】 直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．【答案】 B4．不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的范围是( )-4-\nA．a<5B．a≥8C．5≤a<8D．a<5或a≥8【解析】 如图，的交点为(0,5)，的交点为(3,8)，∴5≤a<8.【答案】 C5．(2011·安徽高考)设变量x，y满足则x＋2y的最大值和最小值分别为( )A．1，－1B．2，－2C．1，－2D．2，－1【解析】 作出可行域(如图阴影部分所示)，设z＝x＋2y，作l0：x＋2y＝0.把l0向左下方平移到点(0，－1)时，z有最小值，zmin＝0＋2×(－1)＝－2.把l0向右上方平移到点(0,1)时，z有最大值，zmax＝0＋2×1＝2.【答案】 B二、填空题图6－3－26．(2011·陕西高考)如图6－3－2，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．【解析】 令b＝2x－y，则y＝2x－b，如图所示，作斜率为2的平行线y＝2x－b，当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为－b，此时b＝2x－y取得最小值，为b＝2×1－1＝1.【答案】 17．已知点P(x，y)满足，定点为A(2,0)，则||sin∠AOP(O为坐标原点)的最大值为________．【解析】 可行域如图阴影部分所示，A(2,0)在x正半轴上，所以||·sin∠AOP即为P点纵坐标．-4-\n当P位于点B时，其纵坐标取得最大值.【答案】 8．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．【解析】 设购买铁矿石A为x万吨，购买铁矿石B为y万吨，总费用为z百万元．根据题意得，整理为线性目标函数为z＝3x＋6y，画可行域如图所示，当x＝1，y＝2时，z取得最小值，∴zmin＝3×1＋6×2＝15(百万元)．【答案】 15三、解答题9．当x，y满足约束条件(k为负常数)时，能使z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值．【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)当直线y＝－x＋z经过区域中的点A(－，－)时，z取到最大值，等于－.令－＝12，得k＝－9.∴所求实数k的值为－9.-4-\n10．已知x，y满足条件：M(2,1)，P(x，y)．求：(1)的取值范围；(2)·的最大值．【解】 如图所示，画出不等式组，所表示的平面区域：其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)．(1)可以理解为区域内的点与点D(－4，－7)连线的斜率．由图可知，连线与直线BD重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD重合时，倾斜角最大且为锐角．kDB＝，kCD＝9，所以的取值范围为[，9]．(2)由于·＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y，令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，z表示直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，由可行域可知，当直线y＝－2x＋z经过A点时，z取到最大值，这时z的最大值为zmax＝2×4＋1＝9.11．某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知每生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；每生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？【解】 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，则线性约束条件为目标函数为z＝7x＋12y，作出可行域如图，作出一组平行直线7x＋12y＝t，当直线经过直线4x＋5y＝200和直线3x＋10y＝300的交点A(20,24)时，利润最大．即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨，利润总额最大，zmax＝7×20＋12×24＝428(万元)．-4-
