课时知能训练一、选择题1．(2011·重庆高考)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )A．1＋ B．1＋ C．3 D．4【解析】 ∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时等号成立，∴a＝3.【答案】 C2．若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为( )A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]C．[4，＋∞)D．[－4,4]【解析】 M＝＝a＋，当a＞0时，M≥4，当且仅当a＝2时等号成立，当a＜0时，M≤－4，当且仅当a＝－2时等号成立，故M的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．【答案】 A3．(2011·上海高考)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( )A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2C.＋＞D.＋≥2【解析】 当a＝b时，a2＋b2＝2ab，排除A；当a＜b，b＜0时，a＋b＜0＜2，＋＜0＜，排除B、C，选D.【答案】 D4．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为( )A．8B．9C．10D．12【解析】 α＋β＝(a＋b)＋＋＝(a＋b)＋＝5(a＋b)≥10＝10，当且仅当a＝b＝1时等号成立．【答案】 C5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )A．3B．4C.D.【解析】 ∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0，-4-\n∴－1<x<8，∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝时“＝”成立，此时x＝2，y＝1.【答案】 B二、填空题6．(2011·湖南高考)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)的最小值为________．【解析】 (x2＋)(＋4y2)＝5＋4x2y2＋≥5＋2＝9，当且仅当4x2y2＝，即|xy|＝时等号成立．【答案】 97．若正数a，b满足＋＝2，则ab的最小值为________．【解析】 ∵a>0，b>0，∴＋≥2＝4，∴4≤2，∴ab≥4，当且仅当＝且＋＝2时等号成立．【答案】 48．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3.【解析】 ab≤＝1，当且仅当a＝b时取等号，①对；(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤4，当且仅当a＝b时取等号，得＋≤2，故②错误．由于≥＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确．a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，∵ab≤1，又a2＋b2≥2，∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误．【答案】 ①③三、解答题-4-\n9．已知a，b，c是正实数，求证：＋＋≥a＋b＋c.【证明】 ∵a，b，c是正实数∴＋≥2＝2c(当且仅当a＝b时取等号)＋≥2＝2a(当且仅当b＝c时取等号)＋≥2＝2b(当且仅当a＝c时取等号)∴2·(＋＋)≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c.10．求函数y＝(x＞－1)的值域．【解】 y＝＝＝x＋1＋－1，由x>－1，知x＋1>0.∴(x＋1)＋≥2＝2，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时等号成立，∴y≥2－1，故函数的值域为[2－1，＋∞)．11．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)【解】 (1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，-4-\n∴年生产成本为32x＋3＝32(3－)＋3.当销售x(万件)时，年销售收入为150%[32(3－)＋3]＋t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，得年利润y＝(t≥0)．(2)y＝＝50－(＋)≤50－2＝50－2＝42(万元)，当且仅当＝，即t＝7时，ymax＝42，∴当促销费定在7万元时，年利润最大．-4-
