课时知能训练一、选择题1．(2012·清远质检)已知直线l：y＝k(x－1)－与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为( )A. B.C.D.π【解析】 由题意知，＝1，∴k＝－，∴直线l的倾斜角为π.【答案】 D2．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A．2B．4C．2D．5【解析】 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2＝2＝4.【答案】 B3．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则直线l的方程为( )A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0【解析】 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3，当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有＝3，∴k＝－，此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.【答案】 B4．设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝( )A.B.或－C.D.或－【解析】 ∵·＝0，∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线．设OM的方程为y＝kx，由＝，得k＝±，即＝±.【答案】 D3\n5．(2012·广州模拟)若直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)始终平分圆M：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的周长，则＋的最小值为( )A．8B．16C．1D．20【解析】 由圆M化为(x＋4)2＋(y＋1)2＝16，∴圆M的圆心M(－4，－1)．依题意，直线l过圆心M(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，从而(＋)＝(＋)(4a＋b)＝8＋＋≥8＋2＝16，当且仅当＝，即b＝，a＝时，取等号，∴＋的最小值为16.【答案】 B二、填空题6．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点C为(－2,3)，则直线l的方程为________．【解析】 (1)圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a.由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C(－2,3)的连线必垂直于l，又kAB＝－＝1，∴l的方程为x－y＋5＝0.【答案】 x－y＋5＝07．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.【解析】 公共弦所在的直线方程为y＝，由已知得，圆心(0,0)到公共弦的距离为1，∴＝1，∴a＝1.【答案】 18．已知圆O的方程为x2＋y2＝2，圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是________．【解析】 由题意知直线PQ过圆M的圆心(1,3)，故设PQ方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，由PQ与圆O相切得，＝，即k2＋6k－7＝0，解得k＝1或k＝－7.【答案】 1或－7三、解答题9．已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.(1)求证：不论m取何实数，曲线C恒过一定点；(2)求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上．【证明】 (1)曲线C的方程为x2＋y2－20＋m(－4x＋2y＋20)＝0，3\n故其经过圆x2＋y2－20＝0与直线－4x＋2y＋20＝0的交点．又因为直线－4x＋2y＋20＝0与圆x2＋y2－20＝0相切于点(4，－2)，所以不论m取何实数，曲线C恒过定点(4，－2)．(2)曲线C的方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5m2－20m＋20＝5(m－2)2.当m≠2时，5(m－2)2>0.所以曲线C表示一个圆，且圆心P(2m，－m)在定直线x＋2y＝0上．10．(2012·揭阳调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线y＝x垂直，知O，C两点的斜率kOC＝＝－1，故b＝－a，则|OC|＝2，即＝2，可解得或，结合点C(a，b)位于第二象限知.故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在Q(m，n)符合题意，则，解得.故圆C上存在异于原点的点Q(，)符合题意．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)＞0，解得－＜k＜0，即k的取值范围为(－，0)．(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③因P(0,2)、Q(6,0)，＝(6，－2)．所以＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝－.而由(1)知k∈(－，0)，故没有符合题意的常数k.3
