课时提升作业(七)指数函数一、选择题(每小题5分,共25分)1.等于( )A.- B. C. D.【解析】选A.由已知可得a≤0,所以原式=2.(2022·北京模拟)y=ax-1+2(a>0且a≠1)的图象一定过点 ( )A.(1,1)B.(1,3)C.(2,0)D.(4,0)【解析】选B.由x-1=0,解得x=1,此时y=1+2=3,即函数的图象过定点(1,3).3.(2022·昆明模拟)设a=22.5,b=2.50,c=()2.5,则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c【解析】选C.b=2.50=1,c=()2.5=2-2.5,则2-2.5<1<22.5,即c<b<a.【方法技巧】比较指数幂大小的技巧(1)比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小.(2)当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小.4.(2022·洛阳模拟)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是 ( )【解析】选B.|f(x)|=|2x-2|=-7-\n易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),.又|f(x)|≥0,故选B.【误区警示】本题易误选A或D,出现错误的原因是误以为y=|f(x)|是偶函数.5.当x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),则实数a的范围是( )A.(1,)B.(,1)C.(,1)∪(1,)D.(0,1)∪(1,)【解析】选C.x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),若a>1,y=ax是一个增函数,则有a2<2,可得a<,故有1<a<;若0<a<1,y=ax是一个减函数,则有a-2<2,可得a>,故有<a<1.综上知a∈(,1)∪(1,).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·天津模拟)函数y=()x-()x+1在x∈[-3,2]上的值域是 .【解析】因为x∈[-3,2],若令t=()x,则t∈[,8].则y=t2-t+1=(t-)2+.当t=时,ymin=;当t=8时,ymax=57.答案:[,57]【误区警示】忽视换元后新元的取值范围致误,解决本题在令t=()x,易忽视t的范围,误认为t∈R或t∈[-3,2],从而结果出现错误.【加固训练】函数y=的值域是 .-7-\n【解析】函数y=令t=,则y=t2+t+1=(t+)2+,由t=,知t>0,因为函数y=(t+)2+在(0,+∞)上为增函数,所以y>1,即函数的值域为(1,+∞).答案:(1,+∞)7.(2022·长春模拟)已知函数f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是 .【解析】因为f(x)=a-x=()x,且f(-2)>f(-3),所以函数f(x)在定义域上单调递增,所以>1,解得0<a<1.答案:(0,1)8.若函数f(x)=x2是奇函数,则常数a的值等于 .【解题提示】把f(x)看成两个函数的积,判断出的奇偶性,然后求解.【解析】设g(x)=a+,t(x)=x2,因为t(x)=x2是偶函数,而f(x)=x2是奇函数,所以g(x)=a+是奇函数,又因为g(-x)=a+=a+,所以a+=-对定义域内的一切实数都成立,解得a=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022·上海高考)设常数a≥0,函数f(x)=根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.【解析】若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)对任意x均成立,所以,整理可得a(2x-2-x)=0,因为2x-2-x不恒为0,所以a=0,此时f(x)=1,x∈R,满足条件;-7-\n若f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)对任意x均成立,所以,整理可得a2-1=0,所以a=±1,因为a>0,所以a=1,此时f(x)=,x≠0,满足条件;综上所述,a=0时,f(x)是偶函数;a=1时,f(x)是奇函数.10.已知函数f(x)=(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)有最大值3,求a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).(2)令h(x)=ax2-4x+3,y=,由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,所以当f(x)有最大值3时,a的值等于1.【加固训练】设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,求a的值.【解析】令t=ax(a>0且a≠1),则原函数化为y=(t+1)2-2(t>0).-7-\n(1)当0<a<1时,x∈[-1,1],t=ax∈[a,],此时f(t)在[a,]上为增函数.所以f(t)max=f()=(+1)2-2=14.所以(+1)2=16,所以a=-或a=.又因为0<a<1,所以a=.(2)当a>1时,x∈[-1,1],t=ax∈[,a],此时f(t)在[,a]上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3(a=-5舍去).综上得a=或3.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·金华模拟)函数y=(0<a<1)的图象的大致形状是( )【解析】选D.因为y==且0<a<1,所以结合选项知,选D.2.(5分)(2022·南昌模拟)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( )A.f()<f()<f()-7-\nB.f()<f()<f()C.f()<f()<f()D.f()<f()<f()【解题提示】根据f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x)=f(2-x),由此可把f(),f()转化为[1,+∞)上的函数值.【解析】选B.由已知条件可得f(x)=f(2-x).所以f()=f(),f()=f().又因为f(x)=3x-1在[1,+∞)上递增,所以f()>f()>f().即f()>f()>f().【方法技巧】比较函数值大小的方法(1)单调性法:先利用相关性质,将待比较函数值调节到同一单调区间内,然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.(2)图象法:先利用相关性质作出函数的图象,再结合图象比较大小.3.(5分)(2022·泰安模拟)若函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga(x+k)的图象是( )【解析】选C.因为函数f(x)=kax-a-x(a>0,a≠1)在(-∞,+∞)上是奇函数,则f(-x)+f(x)=0,即(k-1)(ax+a-x)=0,则k=1,又因为函数f(x)=kax-a-x(a>0,a≠1)在(-∞,+∞)上是增函数,则a>1,则g(x)=loga(x+k)=loga(x+1)的图象必过原点,且为增函数,故选C.4.(12分)已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]的值域.(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.-7-\n【解析】(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,令t=2x,x∈[-3,0],则t∈[,1].故y=2t2-t-1=2(t-)2-,t∈[,1],故值域为[-,0].(2)关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解,等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.记g(m)=2am2-m-1,当a=0时,解为m=-1<0,不成立.当a<0时,开口向下,对称轴m=<0,过点(0,-1),不成立.当a>0时,开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以,a>0.【一题多解】本题还有以下解法:方程2am2-m-1=0可化为a=,所以a的范围即为函数g(m)=在(0,+∞)上的值域,所以a>0.5.(13分)(能力挑战题)设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.(1)若f(1)>0,求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集.(2)若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值.【解析】因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,所以k-1=0,所以k=1.故f(x)=ax-a-x.(1)因为f(1)>0,所以>0,又a>0且a≠1,所以a>1,而当a>1时,y=ax和y=-a-x在R上均为增函数,所以f(x)在R上为增函数,原不等式化为:f(x2+2x)>f(4-x),所以x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0,所以x>1或x<-4,所以不等式的解集为{x|x>1或x<-4}.(2)因为f(1)=,所以,即2a2-3a-2=0,所以a=2或a=-(舍去),g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2.令t=2x-2-x(x≥1),则t=h(x)在[1,+∞)上为增函数,即h(x)≥h(1)=.所以g(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2,所以当t=2时,g(x)min=-2,此时x=log2(1+),故当x=log2(1+)时,g(x)有最小值-2.-7-
