【大高考】（五年高考真题）2022届高考数学复习第十三章坐标系与参数方程理（全国通用）考点一 坐标系与极坐标1．(2022·安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为( )A.B．2C.D．2解析 由消去t得x－y－4＝0，C：ρ＝4cosθ⇒ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，∴C(2，0)，r＝2.∴点C到直线l的距离d＝＝，∴所求弦长＝2＝2.故选D.答案 D2．(2022安徽，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1解析 由ρ＝2cosθ得x2＋y2－2x＝0.∴(x－1)2＋y2＝1，圆的两条垂直于x轴的切线方程为x＝0和x＝2.故极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.答案 B3．(2022·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A10\n，则点A到直线l的距离为________．解析 依题已知直线l：2ρsin＝和点A可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.答案 4．(2022·北京，11)在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________．解析 在平面直角坐标系下，点化为(1，)，直线方程为：x＋y＝6，∴点(1，)到直线的距离为d＝＝＝1.答案 15．(2022·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．解析 由ρ＝8sinθ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝得y＝x，即x－y＝0，∴圆心(0，4)到直线y＝x的距离为2，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝的最大距离为4＋2＝6.答案 66．(2022·重庆，15)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．解析 直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1，2)．故该点的极径ρ＝＝.答案 7．(2022·天津，13)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．解析 圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，直线的直角坐标方程为y＝a，因为△AOB10\n为等边三角形，则A(±，a)，代入圆的方程得＋a2＝4a，故a＝3.答案 38．(2022·湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．解析 曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，由直线l与曲线C相交所得的弦长|AB|＝2知，AB为圆的直径，故直线l过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为，即斜率为1，从而直线l的普通方程为y＝x－1，从而其极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ－1，即·ρcos＝1.答案 ·ρcos＝19．(2022·广东，14)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．解析 由ρsin2θ＝cosθ得ρ2sin2θ＝ρcosθ，其直角坐标方程为y2＝x，ρsinθ＝1的直角坐标方程为y＝1，由得C1和C2的交点为(1，1)．答案 (1，1)10．(2022·湖北，16)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．解析 l的直角坐标方程为x＋y＝m，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，由直线l与圆O相切，得m＝±b.从而椭圆的一个焦点为(b，0)，即c＝b，所以a＝b，则离心率e＝＝.10\n答案 11．(2022·湖北，16)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．解析 由极坐标方程可知，θ＝表示射线y＝x(x≥0)，而表示y＝(x－2)2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)．联立可得，x2－5x＋4＝0，可得x1＋x2＝5.即x0＝y0＝＝，故M.答案 12．(2022·陕西，15C)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B，分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析 曲线C1：(θ为参数)的直角坐标系方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知C1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C2：ρ＝1的直角坐标方程是x2＋y2＝1，可知C2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C1和C2上的两点A，B的最短距离．由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB|min＝d－r1－r2＝－1－1＝5－1－1＝3.答案 310\n13．(2022·江苏，21)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.14．(2022·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解 (1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为.15．(2022·辽宁，23)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得10\n由x＋y＝1得x2＋＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.故C的参数方程为(t为参数)．(2)由解得：或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.考点二 参数方程1．(2022·北京，3)曲线(θ为参数)的对称中心( )A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上解析 曲线(θ为参数)的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，该曲线为圆，圆心(－1，2)为曲线的对称中心，其在直线y＝－2x上，故选B.答案 B2．(2022·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )A．ρ＝，0≤θ≤B．ρ＝，0≤θ≤C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤10\n解析 ∵∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρ＝.∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤.故选A.答案 A3．(2022·重庆，15)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．解析 直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案 (2，π)4．(2022·湖北，16)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为________．解析 曲线C1为射线y＝x(x≥0)．曲线C2为圆x2＋y2＝4.设P为C1与C2的交点，如图，作PQ垂直x轴于点Q.因为tan∠POQ＝，所以∠POQ＝30°，又∵OP＝2，所以C1与C2的交点P的直角坐标为(，1)．答案 (，1)5．(2022·湖南，9)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．解析 由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为＋＝1，所以其右顶点为(3，0)，由题意知0＝3－a，解得a＝3.答案 310\n6.(2022·陕西，15C)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．解析 由三角函数定义知＝tanθ(x≠0)，y＝xtanθ，由x2＋y2－x＝0得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝＝cos2θ，则y＝xtanθ＝cos2θtanθ＝sinθcosθ，又θ＝时，x＝0，y＝0也适合题意，故参数方程为(θ为参数)．答案 (θ为参数)7．(2022·重庆，15)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.解析 由极坐标方程ρcosθ＝4，化为直角坐标方程可得x＝4，而由曲线参数方程消参得x3＝y2，∴y2＝43＝64，即y＝±8，∴|AB|＝|8－(－8)|＝16.答案 168．(2022·湖南，9)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.解析 把曲线C1的参数方程化为普通方程为y＝－2x＋3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线y＝－2x＋3与x轴的交点为，即a＝.10\n答案 9．(2022·北京，9)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．解析 直线方程可化为x＋y－1＝0，曲线方程可化为x2＋y2＝9，圆心(0，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝<3，∴直线与圆有两个交点．答案 210．(2022·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．解 ①消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由ρsin＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.②依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即＝2，解得m＝－3±2.11．(2022·湖南，16Ⅱ)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．解 (1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①10\n将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.12．(2022·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．解 将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，得＝4，解得t1＝0，t2＝－8.所以|AB|＝|t1－t2|＝8.13．(2022·新课标全国Ⅱ，23)已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．解 (1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋cos2α)．M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0<α<2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．10
