三角恒等变换[考试要求] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝.提醒：(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．(2)二倍角是相对的，如是的2倍，3α是的2倍．3．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).1．公式的常用变式tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；sin2α＝＝；\ncos2α＝＝.2．降幂公式sin2α＝；cos2α＝；sinαcosα＝sin2α.3．升幂公式1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2；1＋sinα＝；1－sinα＝.4．半角正切公式tan＝＝.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( )(2)公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )(3)cosθ＝2cos2－1＝1－2sin2.( )(4)当α是第一象限角时，sin＝.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．已知cosα＝－，α是第三象限角，则cos为( )A．B．－C．D．－\nA [∵cosα＝－，α是第三象限角，∴sinα＝－＝－.∴cos＝(cosα－sinα)＝＝.故选A．]2．已知sinα－cosα＝，则sin2α＝( )A．－B．－C．D．A [∵sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，∴sin2α＝－.故选A．]3．计算：sin108°cos42°－cos72°sin42°＝. [原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42°＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝.]4．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝. [tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.]第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式考点一 公式的直接应用 应用公式化简求值的策略\n(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[典例1] (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝( )A．B．C．D．(2)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.①求cos2α的值；②求tan(α－β)的值．(1)A [由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－或cosα＝2(舍去)．又∵α∈(0，π)，∴sinα＞0，∴sinα＝＝＝，故选A．](2)[解] ①因为tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此cos2α＝2cos2α－1＝－.②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.\n1．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tanθ－tan＝7，则tanθ＝( )A．－2B．－1C．1D．2D [由已知得2tanθ－＝7，得tanθ＝2.]2．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝( )A．B．C．D．B [由二倍角公式可知4sinαcosα＝2cos2α.∵α∈，∴cosα≠0，∴2sinα＝cosα，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B．]考点二 公式的逆用和变形 两角和、差及倍角公式的逆用和变形的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形①sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；②cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；③1±sinα＝2；④sin2α＝＝；⑤cos2α＝＝；⑥tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)． 公式的逆用[典例2－1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知sinθ＋sin＝1，则sin＝( )A．B．C．D．(2)化简＝.\n(1)B (2) [(1)由sinθ＋sin＝1，得sinθ＋sinθcos＋cosθsin＝1，整理得sinθ＋cosθ＝1，即＝1，即sin＝1，∴sin＝，故选B．(2)＝＝＝＝.]点评：(1)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 公式的变形[典例2－2] (1)若0＜θ＜π，则＝.(2)化简sin2＋sin2－sin2α的结果是．(1)－cosθ (2) [(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos＞0，∴＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)＝\n＝2cos＝－2coscosθ，故原式＝＝－cosθ.(2)原式＝＋－sin2α＝1－－sin2α＝1－cos2α·cos－sin2α＝1－－＝.]1．设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝(sin56°－cos56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞bD [由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝sin13°，b＝(sin56°－cos56°)＝sin56°－cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈为增函数，所以sin13°＞sin12°＞sin11°，所以a＞c＞b.故选D．]2．若α＋β＝－π，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝.2 [由α＋β＝－π得tan(α＋β)＝tan＝1，∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＋1＝1－tanαtanβ＋tanαtanβ＋1＝2.]考点三 利用“角的变换”求值\n 三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[典例3] (1)已知cos＝，则cosx＋cos＝( )A．B．C．D．(2)若α∈，且sin＝，则cos＝.(3)已知sin＝，则cos＝.(1)D (2) (3)－ [(1)法一：cosx＋cos＝cos＋cos＝2coscos＝，故选D．法二：cosx＋cos＝cosx＋cosxcos＋sinxsin＝sinx＋cosx＝＝cos＝，故选D．(2)由于角α为锐角，且sin＝，则cos＝，则cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.(3)cos＝cos＝sin＝，∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.]\n点评：常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．1．已知sin＝，α∈，则(1)cosα＝；(2)sin＝.(1)－ (2)－ [(1)由α∈知α＋∈，∴cos＝－＝－＝－，∴cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝－.(2)由α∈和(1)知，得sinα＝.∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，∴sin＝sin2αcos－cos2αsin＝＝－.]2．已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为． [cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.]
