2013高考百天仿真冲刺卷数学(理)试卷（二）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合，，则等于（A）（B）（C）（D）{，}2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（A）8，8 （B）10，6（C）9，7 （D）12，43．极坐标方程化为直角坐标方程是（A）（B）（C）（D）4．已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和．若，，则的值是（A）511（B）1023（C）1533（D）3069侧视图正视图1俯视图5．函数的单调增区间是（A）（B）（C）（D）6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（A）（B）xyOCBAFD（C）（D）7．如图，双曲线的中心在坐标原点，分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是双曲线的左顶点，为双曲线的左焦点，直线与相交于点.若双曲线的离心率为2，则的余弦值是（A）（B）（C）（D）8．定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,的长度.用-11-\n表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）开始输入x是输出结束否二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．复数，，则等于.10．在二项式的展开式中，第四项的系数是.11．如下图，在三角形中，，分别为，的中点，为上的点，且.若，则实数，实数.ABCDE··F12．执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为．13．如下图，在圆内接四边形中,对角线相交于点．已知，，，则，的长是．14．对于各数互不相等的整数数组(是不小于3的正整数)，对于任意的，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于；若数组中的逆序数为，则数组中的逆序数为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知.（Ⅰ）求；-11-\n（Ⅱ）当，且时，求.16．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面.若.（Ⅰ）求证：平面；ABPCD（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角的余弦值.17．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；-11-\n（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18．（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.19．（本小题满分14分）已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以-11-\n为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分14分）有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．（Ⅰ）证明（，是的多项式），并求的值；（Ⅱ）当时，将数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列)．设前组中所有数之和为，求数列的前项和．（Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式成立的所有的值．2013高考百天仿真冲刺卷数学(理)试卷（二）参考答案一、选择题:题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ACADABCB二、填空题:-11-\n题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案160210.864三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得.所以.因为在中，，所以.……………………………………6分（Ⅱ）因为，所以.因为是锐角三角形，所以，.所以.由正弦定理可得：，所以.…………………………13分16．（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）因为，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以.EFABPCD在底面中，因为，，所以，所以.又因为，所以平面.……………………………4分（Ⅱ）在上存在中点，使得平面，证明如下：设的中点是，连结，，，则，且.由已知，所以.又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.-11-\nGHABPCD因为平面，平面，所以平面.……………8分（Ⅲ）设为中点，连结，则.又因为平面平面，所以平面.过作于，连结，由三垂线定理可知.所以是二面角的平面角.设，则,.在中，，所以.所以，.即二面角的余弦值为.………………………………13分zyxABPCD解法二：因为，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.又因为，所以，，两两垂直.分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.设，则，，，，.（Ⅰ），，,所以，，所以，.又因为，所以平面.………………………………4分（Ⅱ）设侧棱的中点是，则，.设平面的一个法向量是，则因为，，所以取，则.所以，所以.因为平面，所以平面.………………………………8分（Ⅲ）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.由（Ⅱ）知，为平面的一个法向量.-11-\n设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以.即二面角的余弦值为.………………………………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知X～B(6，).()X的分布列为：X0123456P所以=.或因为X～B(6，)，所以.即X的数学期望为4．……………5分（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为………………………………10分（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，则.即教师乙在这场比赛中获奖的概率为.显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．…………………13分18．（本小题满分13分）解:(I)直线的斜率为1.函数的定义域为，因为，所以，所以.所以..由解得；由解得.所以的单调增区间是,单调减区间是.……………………4分(II)，-11-\n由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数取得最小值，.因为对于都有成立，所以即可.则.由解得.所以的取值范围是.………………………………8分(III)依题得，则.由解得；由解得.所以函数在区间为减函数，在区间为增函数.又因为函数在区间上有两个零点，所以解得.所以的取值范围是.………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．由题意知解得，．故椭圆的方程为，离心率为．……6分（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．证明如下：由题意可设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为．由得．设点的坐标为，则．-11-\n所以，．……………………………10分因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为.直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．当时，则直线的斜率.所以直线的方程为．点到直线的距离．又因为，所以．故以为直径的圆与直线相切．综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知．，同理，，，…，．又因为成等差数列，所以.故，即是公差为的等差数列．所以，．令，则，此时．…………4分（Ⅱ）当时，．数列分组如下：．按分组规律，第组中有个奇数，所以第1组到第组共有个奇数．注意到前个奇数的和为，所以前个奇数的和为.即前组中所有数之和为，所以．因为，所以，从而．所以..故-11-\n.所以．…………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.故不等式就是．考虑函数．当时，都有，即．而，注意到当时，单调递增，故有.因此当时，成立，即成立．所以,满足条件的所有正整数．…………………………14分-11-
