2013高考百天仿真冲刺卷数学(理)试卷（四）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A)，(B)，(C)，(D)，3．已知a>0且a≠1，函数，，在同一坐标系中的图象可能是OOOOxxxxyyyy11111111(A)(B)(C)(D)4．参数方程为参数和极坐标方程所表示的图形分别是(A)圆和直线(B)直线和直线(C)椭圆和直线(D)椭圆和圆5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A)120(B)84(C)60(D)48xyO21-16．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A)(B)(C)(D)7．已知直线l：(A，B不全为0)，两点，，若，且，则(A)直线l与直线P1P2不相交(B)直线l与线段P2P1的延长线相交(C)直线l与线段P1P2的延长线相交(D)直线l与线段P1P2相交8．已知函数，(a>0)，若，，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是(A)(B)(C)(D)-11-\n第Ⅱ卷（非选择题共110分）ABCDO二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．圆C：的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是．10．如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A=．11．函数的最小正周期为，最大值为．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．开始，结束输出a是否11正视图侧视图20.62.4俯视图0.6OA1A2A3A4B1B2B3B4AB13．如果执行上面的程序框图，那么输出的a=___．14．如图所示，∠AOB=1rad，点Al，A2，…在OA上，点B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位／秒，则质点M到达A3点处所需要的时间为__秒，质点M到达An点处所需要的时间为 秒．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知等差数列的前项和为，a2=4，S5=35．（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n项和．-11-\nHCA1A2B1B2L1L2A316.（本小题共14分）张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．17.（本小题共13分）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．ABDEC（Ⅰ）求证：平面ABD；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．-11-\n18.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）若在处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值．19.（本小题共14分）已知抛物线P：x2=2py(p>0)．（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．-11-\n20.（本小题共13分）用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项．2013高考百天仿真冲刺卷数学(理)试卷（四）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CBCDBACD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．-11-\n9．310．67°11．，12．1213．14．6，注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知等差数列的前项和为，a2=4，S5=35．（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n项的和．解：（Ⅰ）设数列的首项为a1，公差为d．则∴，………………5分∴．∴前项和．………………7分（Ⅱ）∵，∴，且b1=e．………………8分当n≥2时，为定值，………………10分∴数列构成首项为e，公比为e3的等比数列．………………11分∴．………………13分数列的前n项的和是．16.（本小题共14分）HCA1A2B1B2L1L2A3张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；-11-\n（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则．………………4分所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2．………………5分，，．………………8分随机变量的分布列为：012P．………………10分（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，，所以．………………12分因为，所以选择L2路线上班最好．………………14分17.（本小题共13分）ABDEC已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△，使得平面⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：平面ABD；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，沿直线BD将△BCD翻折成△可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，即，故．………………2分∵平面⊥平面，平面平面=，平面，∴平面．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．………………6分ABDECxyz则，，，．∵E是线段AD的中点，∴，．-11-\n在平面中，，，设平面法向量为，∴，即，令，得，故．………………8分设直线与平面所成角为，则．………………9分∴直线与平面所成角的正弦值为．………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，而平面的法向量为，∴，因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．………………13分18.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）若在处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值．解：（Ⅰ）∵，∴函数的定义域为．………1分∴．…3分∵在处取得极值，即，∴．………………5分当时，在内，在内，∴是函数的极小值点．∴．………………6分（Ⅱ）∵，∴．………………7分∵x∈，∴，∴在上单调递增；在上单调递减，…………9分①当时，在单调递增，∴；………………10分-11-\n②当，即时，在单调递增，在单调递减，∴；………………11分③当，即时，在单调递减，∴．………………12分综上所述，当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是．………………13分19.（本小题共14分）已知抛物线P：x2=2py(p>0)．（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，即到的距离为3；∴，解得．∴抛物线的方程为．………………4分（ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y轴交点为，显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．由，消y得，………………6分，解得．………………7分∴切线方程为．………………8分（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设：，设，，由消y得．且．∴，；-11-\n∵，∴直线：，与联立可得，同理得．……………10分∵焦点，∴，，………………12分∴∴以为直径的圆过焦点．………………14分20.（本小题共13分）用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项．解：（Ⅰ）由已知知．所以．………………4分（Ⅱ）因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排成而成，所以我们可设计如下表格mK12345‥‥1‥‥‥‥2‥‥3‥‥‥‥4‥‥‥‥5‥‥‥‥从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．且‥‥所以．………………8分（Ⅲ）任取，，-11-\n若，则必有．即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．对于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有的数不大于，则，即，所以，同理，第二行共有的数不大于，有，第行共有的数不大于，有．所以，在数列中，不大于的项共有项，即项．………………13分-11-
