2013高考百天仿真冲刺卷数学(理)试卷（六）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则等于（A）（B）（C）（D）2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A）（B）（C）（D）3.设，，，则（A）（B）（C）（D）4．设向量，，且，则等于（A）（B）（C）（D）开始是否输出结束①5.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为（A）（B）（C）（D）6.已知函数①，②，则下列结论正确的是（A）两个函数的图象均关于点成中心对称（B）两个函数的图象均关于直线成中心对称（C）两个函数在区间上都是单调递增函数（D）两个函数的最小正周期相同7．已知曲线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交曲线于，两点，直线与轴交于点，那么（A）成等差数列（B）成等比数列（C）成等差数列（D）成等比数列8．如图，四面体的三条棱两两垂直，,，为四面体外一点.给出下列命题.OABDC①不存在点,使四面体有三个面是直角三角形②不存在点,使四面体是正三棱锥③存在点,使与垂直并且相等④存在无数个点,使点在四面体的外接球面上其中真命题的序号是（A）①②（B）②③（C）③（D）③④-9-\n第Ⅱ卷（非选择题共110分）PABCO•二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.在复平面内，复数对应的点到原点的距离为_____.10.如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆心到的距离为，则圆的半径为_____.正(主)视图俯视图侧(左)视图34433311.已知椭圆经过点，则______，离心率______.12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.13.某展室有9个展台，现有件展品需要展出，要求每件展品独自占用个展台，并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.14.已知数列的各项均为正整数，对于，有当时，______；若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）设中的内角，，所对的边长分别为，，，且,.（Ⅰ）当时，求角的度数；（Ⅱ）求面积的最大值.16．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.-9-\nABCDFE17.（本小题满分13分）如图,是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.18.（本小题满分14分）已知函数，其中.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；（Ⅲ）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）-9-\n19.（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范围.20.（本小题满分13分）定义为有限项数列的波动强度.（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若数列满足，求证：；（Ⅲ）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列.2013高考百天仿真冲刺卷数学(理)试卷（六）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.-9-\n题号12345678答案CBADBCAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.10.11.，12.13.，14.；或注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以.……………………2分因为，，由正弦定理可得.…………………4分因为，所以是锐角，所以.……………………6分（Ⅱ）因为的面积，……………………7分所以当最大时，的面积最大.因为，所以.……………………9分因为，所以，……………………11分所以，（当时等号成立）……………………12分所以面积的最大值为.……………………13分16.（本小题满分13分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有且相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为.…………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有＝，…………………5分所以，.……………………7分（Ⅲ）的所有可能取值为.……………………8分所以，-9-\n，，=＝.……………………11分分布列为：……………………12分所以，.……………………13分yBCAEzDFxM17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为平面，所以.……………………2分因为是正方形，所以，从而平面.……………………4分(Ⅱ)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即，……5分所以.由可知，.………6分则，，，，，所以，，………7分设平面的法向量为，则，即，令，则.…………………8分因为平面，所以为平面的法向量，，所以.…………………9分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.………………10分(Ⅲ)解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以，…………………11分即，解得.…………………12分-9-\n此时，点坐标为，，符合题意.…………………13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ），（），……………3分在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.………4分（Ⅱ）设切点坐标为，则……………7分（1个方程1分）解得，.……………8分（Ⅲ），则，…………………9分解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.……………10分当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为.………………11分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为.………………12分当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为，…………………13分时，最大值为.…………………14分综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知,设，则，圆心坐标为，圆心到轴的距离为，…………………2分圆的半径为，…………………4分所以，以线段为直径的圆与轴相切.…………………5分-9-\n（Ⅱ）解法一：设，由,,得，，…………………6分所以，，…………………8分由，得.又，，所以.…………………10分代入，得，，整理得，…………………12分代入，得，所以，…………………13分因为，所以的取值范围是.…………………14分解法二：设，，将代入，得，所以（*），…………………6分由，，得，，…………………7分所以，，，…………………8分将代入（*）式，得，…………………10分所以，.…………………12分代入，得.…………………13分因为，所以的取值范围是.…………………14分20．（本小题满分13分）-9-\n（Ⅰ）解：………………1分.………………3分（Ⅱ）证明：因为，，所以.……4分因为，所以，或.若，则当时，上式，当时，上式，当时，上式，即当时，.………………6分若，则，.（同前）所以，当时，成立.……………7分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）下面来证明当时，为递减数列.（ⅰ）证明.若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若，则，与已知矛盾.所以，.………………9分（ⅱ）设，证明.若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若，则，与已知矛盾.所以，.…………11分（ⅲ）设，证明.若，考查数列，则由前面推理可得，与矛盾.所以，.……………12分综上，得证.同理可证：当时，有为递增数列.………………13分-9-
