2013高考百天仿真冲刺卷数学(文)试卷（三）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数满足，则等于（A）（B）（C）（D）（2）命题“，”的否定为（A），（B），≥0（C），≥0（D），OxyOxy xyO１Oxy（3）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的大致图像为（A） （B）（C）（D）（4）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．其中为真命题的是（A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）②和④（5）已知函数的部分图象如右图所示，则点P的坐标为（A）（B）（C）（D）（6）若右边的程序框图输出的是，则条件①可为（A）n≤5（B）n≤6（C）n≤7（D）n≤8（7）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的为（A）（B）（C）（D）-9-\n（8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是到到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）抛物线的焦点坐标为．（10）在等差数列中，若，则．（11）已知向量，，满足，且，，，则．（12）已知,,则．（13）设且，则；．（14）设不等式组在直角坐标系中所表示的区域的面积为，则当时，的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）在△中，角，，的对边分别为，，．，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若△的面积，求的值．-9-\n（16）（本小题共13分）已知四棱锥的底面是菱形．，为的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面．7580859095100分数0.010.020.040.060.070.030.05（17）（本小题共13分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．(18)（本小题共14分）已知函数，且．-9-\n（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围．（19）（本小题共14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．（20）(本小题共13分)对于，定义一个如下数阵：其中对任意的，，当能整除时，；当不能整除时，．-9-\n（Ⅰ）当时，试写出数阵；（Ⅱ）设．若表示不超过的最大整数，求证：．2013高考百天仿真冲刺卷数学(文)试卷（三）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）A（2）D（3）C（4）D（5）A（6）B（7）B（8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）；（14）-9-\n注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）（Ⅰ）证明：因为，由正弦定理得，所以，，在△中，因为，，所以所以．……………………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知．因为，所以．因为△的面积，所以，．由余弦定理所以．……………………13分（16）（共13分）（Ⅰ）证明：因为，分别为，的中点，所以∥．因为平面平面所以∥平面．……………………6分（Ⅱ）证明：连结因为，所以．在菱形中，因为所以平面因为平面所以平面平面．……………………13分（17）（共13分）解：(Ⅰ)由题设可知，第组的频率为，第组的频率为，第组的频率为．……………………3分(Ⅱ)第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为．因为第，，组共有名学生，所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：第组：，第组：，第组：．-9-\n所以第，，组分别抽取人，人，人．……………………8分(Ⅲ)设第组的位同学为，，，第组的位同学为，，第组的位同学为．则从六位同学中抽两位同学有：共种可能．其中第组的位同学为，至少有一位同学入选的有：共种可能，所以第组至少有一名学生被甲考官面试的概率为．……………………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）由，得．当时，得，解之，得．……………………4分（Ⅱ）因为．从而，列表如下：1＋0－0＋↗有极大值↘有极小值↗所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是．……………………9分（Ⅲ）函数，有=，因为函数在区间上单调递增，等价于在上恒成立，只要≥0，解得≥11，所以的取值范围是≥11．……………………14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：-9-\n由题意：所求椭圆方程为：．……………………5分（Ⅱ）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．……………………14分（20）(共13分)解：（Ⅰ）依题意可得，-9-\n……………………4分（Ⅱ）由题意可知，是数阵的第列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过的倍数有，，…，．因此数阵的第行中有个１，其余是，即第行的和为．所以．……………………13分-9-
