第67课抛物线1．（2022四川高考）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点．若点到该抛物线焦点的距离为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】可设抛物线方程为，∵点到该抛物线焦点的距离为，∴，∴，∴，∵点在抛物线上，∴，∴．2．（2022安徽高考）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（）【答案】C【解析】∵，∴，∴，，取，∵，∴，∴．3．（2022新课标高考）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则双曲线的实轴长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入双曲线方程得，∵，∴，解得，∴实轴长，选C．4．（2022福建高考）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．【答案】Ａ．【解析】∵抛物线的焦点坐标为，∴，∴，∴双曲线的渐进线方程为，即，∴，故选Ａ．3\n5．（2022深圳二模）已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：．【解析】（1）设椭圆的方程为，半焦距为．MBAFO由已知条件，得，∴，解得．.∴椭圆的方程为：．（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，故可设直线的方程为，，由，得，∴，．∵抛物线的方程为，求导得，∴过抛物线上、两点的切线方程分别是，，即，，解得两条切线、的交点的坐标为，即．∴．∴．3\n6．（2022浙江高考）如图，在直角坐标系中，点到抛物线：（）的准线的距离为．点是上的定点，是上的两动点，且线段被直线平分．（1）求，的值．（2）求面积的最大值．【解析】（1）由题意得，得．（2）由（1）可知直线的方程为，设，∵线段被直线平分．∴可设线段的中点坐标为由题意得，设直线的斜率为．由（1）可知抛物线方程为由，得，∴，得，∴直线的方程为，即．由，整理得，∴，得，，．∴，设点到直线的距离为，则，设的面积为，则．令，，则．设，，则．由，得，∴，故的面积的最大值为．3
