普通高等学校招生全国统一考试（广东模拟卷）2022.5.18数学（理科）说明：本试卷共6页，21小题，总分值150分．考试用时120分钟．参考公式：如果事件互斥，那么． 如果事件相互独立，那么．一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．（）A．B．Ｃ．1Ｄ．2．3.设是方程的解，那么属于区间（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）3．为了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n名学生进展跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图所示，且从左到右第一小组的频数是100，那么。A．1000B．10000Ｃ．2000Ｄ．30004．假设变量满足那么的最大值是（）A．90B．80C．70D．405．①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④6．已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，那么以下命题中为真命题的是（）A．B．C．D．7．设，假设函数，有大于零的极值点，那么（）A．B．C．D．-11-/11\n8．已知曲线，点A（0，－2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被C挡住，那么实数a的取值范围是（）.A．（4，＋∞）B．（－∞，4）C．（10，＋∞）D．（－∞，10）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．（一）必做题（9--12题）9.执行右边的程序框图，假设，那么输出的．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）10．已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，那么．11．抛物线与直线围成的图形的面积是12．如以以下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，那么；＝.（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13．以知圆的直径是圆周上一点（不同于点），14、点分别是曲线和上的动点，那么的最小值是。15、在三角形中，所对的边长分别为，其外接圆的半径，那么的最小值为___________.三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．-11-/11\n16．（本小题总分值12分）已知，将的图象按向量平移后，图象关于直线对称．（Ⅰ）求实数的值，并求取得最大值时的集合；（Ⅱ）求的单调递增区间．17．（本小题总分值12分）某华侨中学在状元林里一次性种植了n棵大树，各棵大树成活与否是相互独立的，在无人管理的情况下成活率为p，设ξ为无人管理情况下成活大树的棵数，其数学期望Eξ=14，其标准差为 （Ⅰ）求n,p的值；（Ⅱ）假设有3棵或3棵以上的大树未成活，那么需要补种，求不需要补种大树的概率。(运算结果可保存指数形式)18.（本小题总分值14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.19.（本小题总分值14分）.在ABC中，，，又E点在BC边上，且满足3，以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点.（I）求此双曲线的方程;（II）设P是此双曲线上任意一点，过A作∠APB平分线的垂线，垂足为M，求M点轨迹方程.20.（此题总分值14分）设f1(x)=,定义fn+1(x)=f1[fn(x)],=,其中n（1）求数列{}的通项公式;（2）假设T=1-(3n+1),Qn＝,其中n,试比较T与Q的大小。21．（此题总分值14分）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.（1）求f(x)的单调区间；（2）假设当时，不等式f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围；-11-/11\n（3）假设关于x的方程f(x)=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.本卷出题出发点：“发挥数学作为根底学科的作用，既重视考察中学数学根底知识的掌握程度，又注意考察进入高校继续学习的潜能”的要求，兼顾数学根底、方法、思维、应用和潜能等方面的考察，形成平稳开展的稳定格局。有利于高等学校选拔新生，有利于中学素质教育的实施，促进了数学教育改革的开展。突出对根底知识、根本技能、根本数学思想方法的考察。重视对数学根本能力和综合能力的考察。注重对数学应用意识和创新意识的考察。本卷难度系数估计为：0.60——0.65-11-/11\n附:2022年高考数学（理科）模拟试卷参考答案一、选择题1.D理解复数的根本概念和复数的代数形式的四那么运算；2.C了解零点和函数的关系；-11-/11\n3.A了解频率分布直方图的意义；4.C线性规划是运筹学中研究较早、开展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进展科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中,提高经济效果是人们不可缺少的要求；5.D会看三视图，可培养立体空间的思维和感觉；6.B常用逻辑用语命题及其关系7.A了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）；8.D了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用二、填空题9．理解几种根本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义；10.1会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；11..了解微积分根本定理的含义.；-11-/11\n12.42能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.13.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.14.1能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.15.会用不等式解决一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.16.了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.解：（Ⅰ），将的图象按向量平移后的解析式为．………2分的图象关于直线对称，有，即，解得．…………5分那么．…………6分-11-/11\n当，即时，取得最大值2．………7分因此，取得最大值时的集合是{x|x=k}……8分（Ⅱ）由，解得．因此，的单调递增区间是．…12分17.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.考察概率统计中的二项分布，并能进展简单的应用。Ep=np=14,(σξ)2=np(1-p)=得p=n=2118.空间向量与立体几何：了解空间向量的概念，了解空间向量的根本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直并考察空间向量的应用；解法1：（Ⅰ）建立如以下图的空间直角坐标系，那么A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1），从而设的夹角为θ，那么:∴AC与PB所成角的余弦值为.（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），那么，由NE⊥面PAC可得，-11-/11\n∴即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.解法2：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，那么OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在△AOE中，AO=1，OE=∴即AC与PB所成角的余弦值为.（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，那么.连PF，那么在Rt△ADF中设N为PF的中点，连NE，那么NE//DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.∴N点到AB的距离，N点到AP的距离19向量和圆锥曲线的综合应用，理解向量的概念和作用；解：（1）以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，∴A（-1，0），B（1，0）………………………………1分作CD⊥AB于D，由已知，∴||cosA=，即||=，同理又∵，∴||=，………………………………3分设双曲线的方程为(a>0,b>0),C(-,h),E(x1,y1)………4分又∵3，∴……6分又∵E、C两点在双曲线上，∴,解答：a2=,b2=,…8分∴双曲线的方程为：7x2-=1.…9分-11-/11\n(2)设AM的延长线交PB或其延长线于N点，那么△PAN是等腰三角形，|PA|=|PN|，且M是AN的中点，∴|OM|=|NB|=||PB|-|PN||=||PB|-|PA||=a,…………………13分∴M点的轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆，∴方程为:x2+y2=.……………14分20.数列的综合问题，数学归纳法的考察；解：（1）f1(0)=2,,………………………………2分,,……5分∴数列{}是以为首项，以-为公比的等比数列，∴=（-）n-1=（-）………………………………7分(2)T=1-(3n+1)=1-(3n+1).(-)=1-,…………………8分Qn==1-=1-,………………………9分比较T与Q的大小化为比较4n与（2n+1）2的大小。当n=1时，T1=0，Q1=，T1<Q1…………………………………10分当n=2时，T2=1-，Q1=1-，T2<Q2…………………………………11分当n≥3时，可证明，22n>(2n+1)2即2n>2n+1,Tn>Qn……………………………14分方法1：22n=(1+1)n=C+>2n+1.方法2：可用数学归纳法。方法3：可构造函数，f(n)>f(n-1)>……>f(3)=>121．.导数的综合问题，应用。（1）函数定义域为（－∞，－1）∪（－1，+∞），因为，-11-/11\n由>0得－2<x<－1或x>0,由<0得x<－2或－1<x<0.那么递增区间是（－2，－1），（0，+∞），递减区间是（－∞，－2），（－1，0）…4分（2）由得x=0或x=－2.由（1）知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，e－1]上递增.又f(－1)=+2，f(e－1)=e2－2,且e2－2>+2.所以x∈[－1，e－1]时,[f(x)]max=e2－2.故m>e2－2时，不等式f(x)<m恒成立.………………8分（3）方程f(x)=x2+x+a,即x－a+1－ln(1+x)2=0，记(g)x=x－a+1－ln(1+x)2.所以.由>0,得x<－1或x>1,由<0得－1<x<1.………………………………10分所以g(x)在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，为使f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在上各有一个实根，于是有……………………………………14分-11-/11
