2022年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷总分值150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件互斥，那么.已知是正整数，那么.一、选择题：本大题共八小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．设复数，那么()A．B．C．D．2.已知等差数列中，，，假设，那么k=（）A.11B.12C.13D.143．甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量(千克∕亩)如下表：棉农甲6872706971棉农乙6971686869那么平均产量较高与产量较稳定的分别是()A．棉农甲，棉农甲B．棉农甲，棉农乙C．棉农乙，棉农甲D．棉农乙，棉农乙4.假设，那么的最大值是A．B．C．2D．45．已知函数，假设关于的方程在区间上有解，那么的取值范围是（）A.B.C.D.6．条件，条件，那么是的()9/9\nA.充分非必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件7.假设函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是A．m≤－1B．－1≤m＜0C．m≥1D．0＜m≤18.设，假设函数，有大于零的极值点，那么（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，共30分．（一）必做题（9—12题）9.以以下图给出的是计算的值的一个程序框图，那么其中空白的判断框内，应填入10.假设函数满足，且，那么11.函数的单调递增区间是12.假设sin2α＜0，－＞0，那么＋＝ （二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13.已知直线的极坐标方程是，那么极点到该直线的距离是＿＿＿＿14.已知不等式对任意正实数恒成立，那么正实数的最小值为＿＿15.底面边长为2的正三棱锥中，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB中点，那么四边形EFGH的面积取值范围是_________9/9\n三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题总分值13分)设0<θ<，曲线x2sinθ＋y2cosθ＝1和x2cosθ－y2sinθ＝1有4个不同的交点.（1）求θ的取值范围；（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围.17.(本小题总分值13分)某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货，如果在某一个小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9、0.8、0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：(1)只有丙柜面需要售货员照顾的概率；(2)三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；(3)三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．18.(本小题总分值14分)如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.(1)求与底面所成角的大小；(2)求证：平面；(3)求二面角的余弦值.19.(本小题总分值14分)已知点A（1，1）是椭圆=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的两焦点，且满足│AF1│+│AF2│=4.（1）求椭圆的两焦点坐标；（2）设点B是椭圆上任意一点，如果│AB│最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；（3）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？9/9\n20.(本小题总分值14分)设函数．(1)求的最小值；(2)假设对恒成立，求实数的取值范围．21.(本小题总分值12分)已知函数=，设正项数列满足=l，．(1)写出、的值；(2)试比较与的大小，并说明理由；(3)设满足=－，记=．证明：当时,.答案一、选择题：DBBCCABD二、填空题：9、10、202211、12、13、14、解析：，当等号成立，所以的最小值为，15、解析：用特例法，当P点无限远离平面ABC时显然所求四边形的面积为无穷；而当P点无限接近平面ABC时（如以下图），容易求得面积为。9/9\n三、解答题：16、解：（1）解方程组，得故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为，3分（0<θ<）0<θ<.6分（2）设四个交点的坐标为（xi，yi）（i＝1，2，3，4），那么：xi2＋yi2＝2cosθ∈（，2）（i＝1，2，3，4）.10分故四个交点共圆，并且这个圆的半径r＝.13分17、解：设事件A为“甲柜面不需要售货员照顾”，事件B为“乙柜面不需要售货员照顾”，事件C为“丙柜面不需要售货员照顾” 那么事件A、B、C相互独立，且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7．2分(1)设事件D表示“某一小时内只有丙柜面需要售货员照顾”，那么，且事件A、B、相互独立 ∴P(D)＝P()＝P(A)P(B)P()＝0.9×0.8×0.3＝0.216．4分(2)设事件E表示“某一小时内三个柜面最多有一个需要售货员照顾”， 那么6分 又彼此互斥，且A、B、C、相互独立 ∴ =0.9×0.8×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.9029分(3)设事件F表示“某一小时内三个柜面至少有一个需要售货员照顾”， 那么10分又A、B、C相互独立 ∴＝P(A)P(B)P(C)＝0.9×0.8×0.7＝0.504∴＝0.496．13分18、解：(1)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．9/9\n又平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．连结OA，那么OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角．∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．6分(2)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．建立空间直角坐标系如图，那么,．由M为PB中点，∴．．，．PA⊥DM，PA⊥DC．∴PA⊥平面DMC．10分(3)．令平面BMC的法向量，那么，从而x+z=0；……①,，从而．……②由①、②，取x=−1，那么．∴可取．由(2)知平面CDM的法向量可取，．∴所求二面角的余弦值为－．14分法二：（1）方法同上（2）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，那么，又，那么，即，又在中，中位线，，那么，那么四边形为，所以，在中，，那么，故而，那么（3）由（Ⅱ）知，那么为二面角的平面角，在中，易得，，故，所求二面角的余弦值为9/9\n19、解：（1）由椭圆定义知：，=1.把（1，1）代入得=1，那么椭圆方程为=12分故两焦点坐标为（，0），（-，0）4分（2）用反证法假设A、B两点关于原点O对称那么B点坐标为（-1，-1）此时│AB│=2取椭圆上一点M（-2，0），那么│AM│=5分│AM│＞│AB│从而此时│AB│不是最大，这与│AB│最大矛盾所以命题成立7分（3）设AC方程为：联立消去y得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0点A（1，1）在椭圆上=8分9/9\n直线AC、AD倾斜角互补同理=9分又，10分所以=即直线CD的倾斜角为定值14分20、解：(1)，当时，取最小值，即．4分(2)令，由得，(不合题意，舍去)．6分当变化时，的变化情况如下表：(0，1)(1，2)递增极大值递减在内有最大值．10分在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为．14分21、解：(1)，因为所以2分（2）因为所以,3分因为所以与同号，5分9/9\n因为，…，即7分（3）当时，，所以，所以.12分9/9
