2022年教师命题比赛数学科试题一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值30分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.满足M｛a1,a2,a3,a4｝,且M∩｛a1,a2,a3｝={a1,a2}的集合M的个数是()A1 B.2C3D42．“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3．假设复数满足，那么所对点所在复平面的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4设｛an｝是公比为正数的等比数列，假设a1=1,a5=16,那么数列｛an｝前7项的和为A.63B.64C.127D.1285．从A、B、C、D、E五名短跑运发动中任选4名，排在标号分别为1、2、3、4的跑道上，那么不同的排法有（）A．24种B．48种C．120种D．124种6.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是（）A9π B10πC11πD12π7．已知，，且，那么函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是（）13/13\n8、在△ABC中，已知向量，那么△ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．等腰非等边三角形C．直角三角形D．等边三角形二、填空题(本大题共7小题，每题5分，总分值30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分)9．已知实数x、y满足条件那么函数的最大值是.10.运行下边算法流程，假设输入3时，输出的值为_______否否开场输入是是输出完毕11.已知，且在区间有最小值，无最大值，那么＝_________.12.10.将全体正整数排成一个三角形数阵：123654789101514131211。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。按照以上排列的规律，第2n-1行（，且n≥2）从左向右的第3个数为选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分.13.不等式的解集为 14.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），假设以为极点，轴的正半轴为极轴，那么曲线的极坐标方程可写为________________.15.13/13\n已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，那么PB＝ ．三、解答题（共6个小题，总分值80分，解容许写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（本小题总分值12分）设⊿ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）求的值.（2022重庆17）17（本小题总分值12分）甲、乙两个篮球运发动互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）假设甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望18.（本小题总分值14分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥侧面A1ABB1.（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）假设直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明.19．（本小题总分值14分）设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）假设关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．20、（14分）已知点H（－3，0），点P在轴上，点Q在轴的正半轴上，点M在直线13/13\nPQ上，且满足，.（Ⅰ）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C；（Ⅱ）过定点作直线交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：；PxOyHMQ（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？假设存在求出的方程；假设不存在，请说明理由.21．（此题总分值14分）已知数列中，且点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）假设函数求函数的最小值；（3）设表示数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？假设存在，写出的解析式，并加以证明；假设不存在，试说明理由．(东莞市2022届高三模拟试题(二))中山市华侨中学2022年教师命题比赛数学科答案命题教师:赵善兰年级:高二一、选择题1．B2A3D4C5C5C6D7C8（改编题）B（此题考察根底知识和根本运算）二、填空题9.3;10.4;11.14/3;12.（自编题）2n2-n-213/13\n13;14.15.15（此题考察根底知识和根本运算）三、解答题16、（2022重庆理数17）(12分)本小题主要考察解三角形、三角变形根本知识，考察学生的变换、化归和运算能力。解：（Ⅰ）由余弦定理得＝故（Ⅱ）解法一： ＝ ＝ 由正弦定理和（Ⅰ）的结论得 故 解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有 ＝ 故13/13\n 同理可得 从而17．（2022天津理数18）(12分)本小题主要考察概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及根本的运算能力解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知可能的取值为0，1，2，3，故的分布列为012313/13\n的数学期望18.（2022湖北理数18）本小题主要考察直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考察空间想象能力和推理能力.（总分值14分）（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，那么由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，那么AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.（Ⅱ）解法1：连接CD，那么由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，是二面角A1—BC—A的平面角，即于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，由AB＜AC，得又所以解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如以下图的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,13/13\nAB=c,那么B(0,0,0),A(0,c,0),于是设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，那么由得可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，那么与互为余角.所以于是由c＜b，得即又所以19．（2022广州质量抽检）（本小题总分值14分）（本小题主要考察函数、微积分根本定理和导数的应用以及不等式等根本知识，考察综合运用数学知识分析和解决问题的能力）解：（1）函数的定义域为，…………………………………………………1分∵，………………………………………2分∵，那么使的的取值范围为，故函数的单调递增区间为．……………………………………………4分13/13\n（2）方法1：∵，∴．…………………………8分令，∵，且，由．∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，……………………9分故在区间内恰有两个相异实根……12分即解得：．综上所述，的取值范围是．………………………………14分方法2：∵，∴．…………………………6分即，令，∵，且，由．∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．……………………9分∵，，，13/13\n又，故在区间内恰有两个相异实根．……………………………………12分即．综上所述，的取值范围是．………………1421、（2022广实模拟22）（14）本小题主要考察直线、圆和抛物线等平面解析几何的根底知识，考察轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力解：（Ⅰ）设,且,…………………2分…………………3分.………………………………………………4分∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）. …………………………………………5分（Ⅱ）解法一：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；……………6分BADFxOyHGE（2）当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为，，那么A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得,.……………7分设直线AE和BE的斜率分别为，那么:＝13/13\n.…………………12分,,，.综合（1）、（2）可知.…………………14分BADFxOyHGE解法二：依题意，设直线的方程为，，那么A，B两点的坐标满足方程组:消去并整理，得,.……………7分设直线AE和BE的斜率分别为，那么:＝.…………………10分,,，. ……………………………………………………12分（Ⅲ）假设存在满足条件的直线，其方程为，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，那么，点的坐标为.13/13\n,,.…………………………14分,令，得此时，.∴当，即时，（定值）.∴当时，满足条件的直线存在，其方程为；当时，满足条件的直线不存在.21．（本小题总分值14分）解：（1）由点P在直线上，即，-----------------------------------------------2分且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，同样满足，所以---------------4分（2）---------------------6分所以是单调递增，故的最小值是----------------------8分（3），可得，-------10分13/13\n，……，n≥2------------------12分．故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．----14分13/13
