课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、基础巩固组1.(2022北京,理4)若x,y满足x≤3,x+y≥2,y≤x,则x+2y的最大值为( )A.1B.3C.5D.92.(2022天津,理2)设变量x,y满足约束条件2x+y≥0,x+2y-2≥0,x≤0,y≤3,则目标函数z=x+y的最大值为( )A.23B.1C.32D.33.(2022山东,理4)已知x,y满足约束条件x-y+3≤0,3x+y+5≤0,x+3≥0,则z=x+2y的最大值是( )A.0B.2C.5D.64.给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是( )A.32B.12C.2D.525.(2022江西新余一中模拟七,理6)若实数x,y满足条件x-y+1≥0,2x+y-2≥0,x-1≤0,则z=-54x+3y的最大值为( )A.-158B.-54C.-12D.-16.不等式组x+y≥1,x-2y≤4的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1,其中的真命题是( )A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p37.(2022河北武邑中学一模,理5)若变量x,y满足不等式组y≤2,x+y≥1,x-y≤a,且z=3x-y的最大值为7,则实数a的值为( )A.1B.7C.-1D.-7〚导学号21500734〛8\n8.(2022全国Ⅲ,理13)若x,y满足约束条件x-y≥0,x+y-2≤0,y≥0,则z=3x-4y的最小值为 . 9.已知实数x,y满足条件x≥2,x+y≤4,-2x+y+c≥0,若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为 . 10.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组2x+3y-6≤0,x+y-2≥0,y≥0所表示的平面区域上一动点,则|OM|的最小值是 . 11.(2022山东潍坊二模,理9改编)某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料,生产1吨甲种肥料和生产1吨乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:已知生产1吨甲种肥料产生的利润2万元,生产1吨乙种肥料产生的利润为3万元,现有A种原料20吨,B种原料36吨,C种原料32吨,在此基础上安排生产,则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为 万元. 原料肥料 ABC甲242乙448〚导学号21500735〛二、综合提升组12.(2022山东潍坊一模,理9)设变量x,y满足约束条件y≥0,x+y-3≤0,x-2y+6≥0,若目标函数z=a|x|+2y的最小值为-6,则实数a等于( )A.2B.1C.-2D.-113.若x,y满足约束条件3x-y-a≤0,x-y≥0,2x+y≥0,目标函数z=x+y的最大值为2,则实数a的值为( )A.2B.1C.-1D.-214.(2022河南新乡二模,理10)若实数x,y满足2x-y+2≥0,2x+y-6≤0,0≤y≤3,且z=mx-y(m<2)的最小值为-52,则m等于( )A.54B.-56C.1D.1315.设x,y满足约束条件x≥0,y≥0,x3a+y4a≤1,若z=x+2y+3x+1的最小值为32,则a的值为 . 三、创新应用组16.(2022山西晋中一模,理10)在平面直角坐标系中,不等式组x+y≤0,x-y≤0,x2+y2≤r2,(r为常数)表示的平面区域的面积为π,若x,y满足上述约束条件,则z=x+y+1x+3的最小值为( )A.-1B.-52+17C.13D.-75〚导学号21500736〛8\n17.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 原料肥料 ABC甲483乙5510现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.〚导学号21500737〛课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.D 由题意画出可行域(如图).8\n设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-12的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D.2.D 由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+y可化为y=-x+z.作直线l0:y=-x,平行移动直线y=-x,当直线过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为3.故选D.3.C 画出约束条件表示的平面区域如图阴影部分所示.由目标函数z=x+2y得直线l:y=-12x+12z,当l经过点C(-3,4)时,z取最大值,且zmax=-3+2×4=5.故选C.4.B 直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.∵kAC=-12,∴-a=-12,即a=12.5.C 由约束条件x-y+1≥0,2x+y-2≥0,x-1≤0,作出可行域如图阴影部分所示.∵z=-54x+3y,∴4x+3y取得最大值时,z取得最大值.与4x+3y=0平行的直线经过点A时,4x+3y取得最大值,故z最大,由x=1,x-y+1=0,得A(1,2),即zmax=-54×1+3×2=-12.故选C.6.B 画出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示.8\n作直线l0:y=-12x,平移l0,当直线经过点A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2为真命题.p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2为真命题.故选B.7.A 作出直线y=2,x+y=1,再作直线l:3x-y=0,而向下平移直线l:3x-y=0时,z增大,而直线x-y=a的斜率为1,因此直线l过直线x-y=a与y=2的交点A时,z取得最大值,由3x-y=7,y=2,得A(3,2),所以a=3-2=1,故选A.8.-1 画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点A(1,1)处取得最小值z=3×1-4×1=-1.9.10 画出x,y满足的可行域如下图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A使目标函数z=3x+y取得最小值5,故由x=2,-2x+y+c=0,解得x=2,y=4-c,代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5.由x+y=4,-2x+y+5=0,得B(3,1).当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.10.2 由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知|OM|的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=|-2|2=2.11.19 设生产甲种肥料和生产乙种肥料分别为x,y吨,则x,y满足的条件关系式为2x+4y≤20,4x+4y≤36,2x+8y≤32,x≥0,y≥0,即x+2y≤10,x+y≤9,x+4y≤16,x≥0,y≥0,8\n再设生产甲乙两种肥料的利润之和为z,则z=2x+3y.由约束条件作出可行域如图:联立x+2y=10,x+y=9,解得A(8,1),作出直线2x+3y=0,平移至点A时,目标函数z=2x+3y有最大值为19.∴当生产甲种肥料8吨,乙种肥料1吨时,利润最大,最大利润为19万元.12.D 变量x,y满足约束条件y≥0,x+y-3≤0,x-2y+6≥0的可行域如图.由目标函数z=a|x|+2y的最小值为-6,可知目标函数过点B,由y=0,x-2y+6=0,解得B(-6,0),-6=a|-6|,解得a=-1,故选D.13.A 作出不等式组x-y≥0,2x+y≥0对应的平面区域如图(阴影部分).∵目标函数z=x+y的最大值为2,∴z=x+y=2.作出直线x+y=2,由图象知x+y=2与平面区域相交于点A.由x-y=0,x+y=2,得x=1,y=1,即A(1,1).可知点A(1,1)在直线3x-y-a=0上,即3-1-a=0,解得a=2.故选A.14.C 变量x,y满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示,z=mx-y(m<2)的最小值为-52,可知目标函数过点A时取得最小值,由y=3,2x-y+2=0,解得A12,3,所以-52=12m-3,解得m=1,故选C.8\n15.1 ∵x+2y+3x+1=1+2(y+1)x+1,而y+1x+1表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,易知a>0,故作出可行域如图阴影部分,由题意知y+1x+1的最小值是14,即y+1x+1min=0-(-1)3a-(-1)=13a+1=14⇒a=1.16.D ∵不等式组x+y≤0,x-y≤0,x2+y2≤r2,(r为常数)表示的平面区域的面积为π,∴圆x2+y2=r2的面积为4π,则r=2.由约束条件作出可行域如图,z=x+y+1x+3=1+y-2x+3,而y-2x+3的几何意义为可行域内的一个动点与定点P(-3,2)连线的斜率.设过点P的圆的切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0.由|3k+2|k2+1=2,解得k=0或k=-125,∴z=x+y+1x+3的最小值为1-125=-75.故选D.17.解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为4x+5y≤200,8x+5y≤360,3x+10y≤300,x≥0,y≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图18\n图2(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-23x+z3,这是斜率为-23,随z变化的一族平行直线,z3为直线在y轴上的截距,当z3取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距z3最大,即z最大.解方程组4x+5y=200,3x+10y=300,得点M的坐标为(20,24).所以zmax=2×20+3×24=112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.8
