课时规范练31 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.(2022河北武邑中学一模,文3)设实数x,y满足不等式组x-y+1≥0,x+y-4≤0,若z=x+2y,则z的最大值为( ) A.-1B.4C.132D.1522.(2022全国Ⅲ,文5)设x,y满足约束条件3x+2y-6≤0,x≥0,y≥0,则z=x-y的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]3.(2022山东,文3)已知x,y满足约束条件x-2y+5≤0,x+3≥0,y≤2,则z=x+2y的最大值是( )A.-3B.-1C.1D.34.给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是( )A.32B.12C.2D.52〚导学号24190756〛5.(2022福建泉州一模,文5)已知实数x,y满足x≥0,x-2y≥0,y≥x-1,则z=ax+y(a>0)的最小值为( )A.0B.aC.2a+1D.-16.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( )A.(1-3,2)B.(0,2)C.(3-1,2)D.(0,1+3)9\n7.(2022河南新乡二模,文4)已知实数x,y满足x-y+2≥0,x+y-4≥0,4x-y-4≤0,则y+2x+1的最大值为( )A.3B.13C.2D.528.若x,y满足约束条件x-y≥0,x+y-2≤0,y≥0,则z=3x-4y的最小值为 . 9已知实数x,y满足条件x≥2,x+y≤4,-2x+y+c≥0,若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为 . 10.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组2x+3y-6≤0,x+y-2≥0,y≥0所表示的平面区域上一动点,则|OM|的最小值是 . 11.(2022山东潍坊二模,文9改编)某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料,生产1吨甲种肥料和生产1吨乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:已知生产1吨甲种肥料产生的利润2万元,生产1吨乙种肥料产生的利润为3万元,现有A种原料20吨,B种原料36吨,C种原料32吨,在此基础上安排生产,则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为 万元. 原料肥料 ABC甲242乙448综合提升组12.设变量x,y满足约束条件y≥0,x+y-3≤0,x-2y+6≥0,若目标函数z=a|x|+2y的最小值为-6,则实数a等于( )A.2B.1C.-2D.-113.已知x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0.若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )A.12或-1B.2或12C.2或1D.2或-114.(2022福建龙岩一模,文9)设不等式组x≥1,x-y≤0,x+y≤4表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在M内的点,则实数k的取值范围是( )9\nA.[1,3]B.(-∞,1]∪[3,+∞)C.[2,5]D.(-∞,2]∪[5,+∞)15.设x,y满足约束条件x≥0,y≥0,x3a+y4a≤1,若z=x+2y+3x+1的最小值为32,则a的值为 .〚导学号24190757〛 创新应用组16.(2022山西晋中一模,文10)若x,y满足约束条件x+y≤0,x-y≤0,x2+y2≤4,则z=y-2x+3的最小值为( )A.-2B.-23C.-125D.2-4717.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 原料肥料 ABC甲483乙5510现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.答案：1.C 如图,作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-12x+12z平移直线y=-12x+z2,由图象可知当直线经过点A时,直线的截距最大,此时z最大.由x-y+1=0,x+y-4=0,得x=32,y=52,即A32,52,此时z的最大值为z=32+2×52=132.9\n2.B 画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.3.D 可行域为如图所示阴影部分(包括边界).把z=x+2y变形为y=-12x+12z,作直线l0:y=-12x并向上平移,当直线过点A时,z取最大值,易求点A的坐标为(-1,2),所以zmax=-1+2×2=3.4.B 直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.∵kAC=-12,∴-a=-12,即a=12.5.D 由约束条件x≥0,x-2y≥0,y≥x-1,作出可行域如图.9\n化目标函数z=ax+y(a>0)为y=-ax+z,由图可知,当直线y=-ax+z过点A(0,-1)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为-1.6.A 由顶点C在第一象限,且与点A,B构成正三角形可求得点C的坐标为(1+3,2).将目标函数化为斜截式为y=x+z,结合图形可知当y=x+z过点C时z取到最小值,此时zmin=1-3,当y=x+z过点B时z取到最大值,此时zmax=2,综合可知z的取值范围为(1-3,2).7.D 作出不等式组对应的平面区域如图,y+2x+1的几何意义是区域内的点到定点D(-1,-2)的斜率,由图象知BD的斜率最大,由x-y+2=0,x+y-4=0,得x=1,y=3,即B(1,3),此时BD的斜率k=3+21+1=52,故选D.8.-1 画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点A(1,1)处取得最小值z=3×1-4×1=-1.9.10 画出x,y满足的可行域如下图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A使目标函数z=3x+y取得最小值5,故由x=2,-2x+y+c=0,解得x=2,y=4-c,9\n代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5.由x+y=4,-2x+y+5=0,得B(3,1).当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.10.2 由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知|OM|的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=|-2|2=2.11.19 设生产甲种肥料和生产乙种肥料分别为x,y吨,则x,y满足的条件关系式为2x+4y≤20,4x+4y≤36,2x+8y≤32,x≥0,y≥0,即x+2y≤10,x+y≤9,x+4y≤16,x≥0,y≥0,再设生产甲乙两种肥料的利润之和为z,则z=2x+3y.由约束条件作出可行域如图:联立x+2y=10,x+y=9,解得A(8,1),作出直线2x+3y=0,平移至点A时,目标函数z=2x+3y有最大值为19.∴当生产甲种肥料8吨,乙种肥料1吨时,利润最大,最大利润为19万元.12.D 变量x,y满足约束条件y≥0,x+y-3≤0,x-2y+6≥0的可行域如图.由目标函数z=a|x|+2y的最小值为-6,可知目标函数过点B,由y=0,x-2y+6=0,解得B(-6,0),-6=a|-6|,解得a=-1,故选D.9\n13.D (方法一)由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或a=2.(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.14.C 作出不等式组x≥1,x-y≤0,x+y≤4表示的平面区域如图阴影部分所示.由于y=kx-2为过点A(0,-2),且斜率为k的直线l,由图知,当直线l过点B(1,3)时,k取最大值3+21-0=5,当直线l过点C(2,2)时,k取最小值2+22-0=2,故实数k的取值范围是[2,5].15.1 ∵x+2y+3x+1=1+2(y+1)x+1,而y+1x+1表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,易知a>0,故作出可行域如图阴影部分,9\n由题意知y+1x+1的最小值是14,即y+1x+1min=0-(-1)3a-(-1)=13a+1=14⇒a=1.16.C 由约束条件x+y≤0,x-y≤0,x2+y2≤4,作出可行域如图,z=y-2x+3的几何意义为可行域内的一个动点与定点P(-3,2)连线的斜率.设过点P的圆的切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0.由|3k+2|k2+1=2,解得k=0或k=-125,∴z=y-2x+3的最小值为-125.故选C.17.解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为4x+5y≤200,8x+5y≤360,3x+10y≤300,x≥0,y≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图19\n图2(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-23x+z3,这是斜率为-23,随z变化的一族平行直线,z3为直线在y轴上的截距,当z3取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距z3最大,即z最大.解方程组4x+5y=200,3x+10y=300,得点M的坐标为(20,24).所以zmax=2×20+3×24=112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.9
