课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.已知实数x,y满足可行域D:x+y-2≤0,x-y+1≥0,y≥0,则z=2x+y取最大值时的最优解为( )A.12,32B.(2,0)C.52D.42.(2020上海交大附中月考)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2,y≤2,x≤2y组成.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(2,1),则z=OM·OA的最大值为( )A.3B.4C.32D.423.若实数x,y满足约束条件x+2y-2≥0,x+y≤2,y≤2,则x-y的最大值等于( )A.2B.1C.-2D.-44.(2020浙江嵊州二模)若实数x,y满足约束条件x-y+1≥0,x+y+1≤0,x-1≤0,则z=x-2y( )A.既有最大值也有最小值B.有最大值,但无最小值C.有最小值,但无最大值D.既无最大值也无最小值5.(2020浙江高三二模)若实数x,y满足-x+y<1,y≥|2x-1|,则x2+y2的取值范围是( )A.12,13B.14,13C.55,13D.15,136.若点P在不等式组2x-y+2≥0,x+y-2≤0,x-y+1≤0表示的平面区域内,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( )A.455-1B.22-1C.322-1D.5-17.(2020湖北十堰模拟,理8)若实数x,y满足约束条件2x-y-4≤0,x+y-2≥0,x-2y+4≥0,则z=x-3y的最小值为( )A.-10B.-8C.-6D.2\n8.(2020江西南昌月考,文5)已知x,y满足约束条件x≤2,y≤2,x+y-3≥0,z=y-x,则zmax-zmin=( )A.0B.1C.2D.49.(2020河北唐山一模,文13)若x、y满足约束条件x-y+1≥0,x+y-3≤0,x-3y+1≤0,则z=2x-y的最小值为 . 10.(2020全国3,文13,理13)若x,y满足约束条件x+y≥0,2x-y≥0,x≤1,则z=3x+2y的最大值为 . 综合提升组11.(2020四川德阳二模,理6)不等式组2x-y≥0,y≥12x,x+y-3≤0表示的平面区域为Ω,则( )A.任意(x,y)∈Ω,x+2y>3B.存在(x,y)∈Ω,x+2y>5C.任意(x,y)∈Ω,y+2x-1>3D.存在(x,y)∈Ω,y+2x-1>512.(2020湖南长郡中学四模,文9)已知实数x,y满足约束条件y≥|x-2|,mx-y+m≥0,其中0<m<1,若x2+y2+2y的最大值为40,则m=( )A.22B.32C.12D.1313.(2020江西南昌检测)设变量x,y满足约束条件2x-y-3≥0,x-2y-4≤0,y≥1,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最小值为1,则1a+1b的最小值为( )A.7+26B.7+22C.3+26D.3+2214.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克,B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 . 创新应用组15.(2020吉林梅河口五中检测,文6)设x,y满足x-1≥0,x-2y≤0,2x+y≤4,向量a=(2x,1),b=(1,m-y),则满足a⊥b的实数m的最小值为( )A.125B.-125C.32D.-3216.(2020江西南昌二中模拟,理9)已知点(m+n,m-n)在x-y≥0,x+y≥0,2x-y≥2表示的平面区域内,则m2+n2的最小值为( )A.25B.105C.49D.23\n参考答案课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.B 画出可行域,因为z=2x+y有y=-2x+z,故当z=2x+y取最大值时的最优解为(2,0).故选B.2.B 画出区域D如图所示,则M(x,y)为图中阴影部分对应的四边形OABC上及其内部的点,又z=OM·OA=2x+y,所以当直线y=-2x+z过点B(2,2)时,zmin=4,故选B.3.A 由实数x,y满足约束条件x+2y-2≥0,x+y≤2,y≤2,作出可行域如图,联立x+2y-2=0,x+y=2,解得A(2,0).设目标函数z=x-y,则y=x-z,由图可知,当直线y=x-z过点A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为2.故选A.4.C 作出可行域,如图所示,\n由图可知,当直线z=x-2y经过点M(-1,0)时,直线在y轴上的截距最大,z最小,因为直线z=x-2y在y轴上的截距无最小值,所以z无最大值.故选C.5.D 画出可行域如图所示,x2+y2表示可行域内的点与坐标原点O距离的平方,原点O与直线AB:2x+y-1=0距离为|2×0+0-1|22+1=55,原点O与点C(2,3)的距离最大为22+32=13,∵可行域不包含C(2,3),∴15≤x2+y2<13,即x2+y2的取值范围是15,13,故选D.6.D 作出不等式组对应的平面区域如图,B(-1,0),曲线x2+(y+2)2=1的半径为1,圆心D(0,-2).由图像可知圆心D(0,-2)到B的距离为d=1+22=5.由图像可知|PQ|的最小值为5-1.故选D.7.B 画出不等式组2x-y-4≤0,x+y-2≥0,x-2y+4≥0所表示的平面区域,如图所示,由z=x-3y,可得y=13x-13z,当直线过点A时,此时直线y=13x-13z在y轴上的截距最大,此时目标函数取得最小值,又由2x-y-4=0,x-2y+4=0,解得x=4,y=4,即A(4,4),所以目标函数z=x-3y的最小值为zmin=4-3×4=-8.故选B.\n8.C 作出不等式组表示的平面区域如图,由图知直线z=y-x经过点A(1,2)时,zmax=2-1=1,当直线z=y-x经过点B(2,1)时,zmin=1-2=-1,所以zmax-zmin=2.故选C.9.-2 作出不等式组x-y+1≥0,x+y-3≤0,x-3y+1≤0所表示的可行域如图所示,联立x-y+1=0,x-3y+1=0,解得x=-1,y=0,即点A(-1,0),平移直线z=2x-y,当该直线经过可行域的顶点A时,直线z=2x-y在x轴上的截距最小,此时z取最小值,即zmin=2×(-1)-0=-2.10.7 如图,在平面直角坐标系中画出可行域(阴影部分),由z=3x+2y得y=-32x+12z,画出直线y=-32x,并平移该直线,当直线y=-32x+12z过点A(1,2)时,目标函数z=3x+2y取得最大值,最大值为3×1+2×2=7.11.D 根据题意,作出不等式组2x-y≥0,y≥12x,x+y-3≤0表示的平面区域,如图所示,\n其中A(2,1),B(1,2),设z1=x+2y,则y=-x2+z12,z1的几何意义为直线y=-x2+z12在y轴上的截距的2倍,由图可得,当y=-x2+z12过点B(1,2)时,直线z1=x+2y在y轴上的截距最大,即x+2y≤5,当y=-x2+z12过原点时,直线z1=x+2y在y轴上的截距最小,即x+2y≥0,故A,B错误;设z2=y+2x-1,则z2的几何意义为点(x,y)与点(1,-2)连线的斜率,由图可得z2最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确.故选D.12.C 作出可行域如图,设z=x2+y2+2y=x2+(y+1)2-1,由图可知,点A到(0,-1)最远,则Am+21-m,3m1-m为最优解,即m+21-m2+3m1-m2+2·3m1-m=40,且0<m<1,解得m=12或2(舍去).故选C.13.D 作出变量x,y满足约束条件2x-y-3≥0,x-2y-4≤0,y≥1表示的可行域如图所示,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线y=1和2x-y-3=0的交点(2,1)时,有最小值为1.所以2a+b=1.因为a>0,b>0,所以1a+1b=(2a+b)1a+1b=3+2ab+ba≥3+22ab·ba=3+22,当且仅当2ab=ba时取等号.所以1a+1b的最小值为3+22.故选D.\n14.2800元 设每天生产甲种产品x桶,乙种产品y桶,则根据题意得x,y的约束条件为x≥0,x∈N,y≥0,y∈N,x+2y≤12,2x+y≤12.设获利z元,则z=300x+400y.画出可行域如图所示.画直线l:300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直线l,从图中可知,当直线过点M时,目标函数取得最大值.由x+2y=12,2x+y=12,解得x=4,y=4,即M的坐标为(4,4),所以zmax=300×4+400×4=2800(元).15.B 画出可行域如图所示,由a⊥b得2x+m-y=0,∴当直线经过点C时,m有最小值,由2x+y=4,x=2y,得x=85,y=45,∴C85,45,∴m=y-2x=45-165=-125,故选B.16.A x-y≥0,x+y≥0,2x-y≥2表示的平面区域如图阴影部分,设x=m+n,y=m-n,即(x,y)在x-y≥0,x+y≥0,2x-y≥2表示的平面区域内,且m=x+y2,n=x-y2,所以m2+n2=x+y22+x-y22=12(x2+y2),则m2+n2的最小值为可行域内的点与原点距离的平方的一半,即原点到直线2x-y-2=0的距离,所以距离的最小值为25,所以m2+n2的最小值为12×252=25,故选A.
