第01节任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测1.任意角的概念、弧度制了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.无1.三角函数的定义；2.扇形的面积、弧长及圆心角.3.备考重点：(1)理解三角函数的定义；(2)掌握扇形的弧长及面积计算公式.2.三角函数的定义理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.无【知识清单】1．象限角及终边相同的角1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．对点练习：下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋π(k∈Z)-10-\nC.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋(k∈Z)【答案】C.确.2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝y，cosα＝x，tanα＝，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线对点练习：【河南省林州一中2022-2022上学期开学】已知角终边经过点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由于，所以由三角函数的定义可得，应选答案-10-\nB.3.扇形的弧长及面积公式弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.对点练习：已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】(1)(cm).(2)圆心角为.(3)l＝10，α＝2.【解析】(1)α＝60°＝rad，∴l＝α·R＝×10＝(cm).【考点深度剖析】高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．【重点难点突破】考点1象限角及终边相同的角【1-1】已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合，判断两集合的关系．-10-\n【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2).【解析】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而.【1-2】若且，则角θ的终边所在象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【1-3】终边在直线y＝x上的角的集合为________．【答案】{α|α＝kπ＋，k∈Z}【解析】终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝kπ＋，k∈Z}．【1-4】若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角是第二象限角，∴，（1），∴角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上．-10-\n综上所述，的终边在第一象限或第三象限．【领悟技法】1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k·360°(k∈Z)的理解;(1)k∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角3.已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置【触类旁通】【变式一】如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )【答案】C-10-\n当t＝0时，d＝，排除A、D；当t＝时，d＝0，排除B.考点2三角函数的定义【2-1】已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于( )A．－B.C．－4D．4【答案】C【解析】由题意可知，cosα＝＝－，又m<0，解得m＝－4.【2-2】已知角α的终边与单位圆的交点P，则tanα＝( )A.B．±C.D．±【答案】B 【解析】由|OP|2＝x2＋＝1，得x＝±，tanα＝±.【2-3】已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)，则tanα的最小值为( )A．1 B．2C.D.【答案】B【解析】根据已知条件得tanα＝＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，tanα取得最小值2.【2-4】已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为( )A.B.C.D.【答案】D-10-\n【领悟技法】1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【触类旁通】【变式一】已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是( )A．(－2,3]B．(－2,3)C．[－2,3)D．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴∴－2<a≤3.故选A.【变式二】已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．【答案】0【解析】设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝＝|k|.当k>0时，r＝k，∴sinα＝＝－，＝＝，∴10sinα＋＝－3＋3＝0；当k<0时，r＝－k，∴sinα＝＝，＝＝－，∴10sinα＋＝3－3＝0.-10-\n综上，10sinα＋＝0.考点3扇形的弧长及面积公式【3-1】【2022届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角，弦长，则弧长__________．【答案】【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为rcm，由sin60°=，得r=4cm，∴l==×4=cm.【3-2】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【答案】当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大【领悟技法】(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【触类旁通】【变式一】一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )-10-\nA.B.C.D.【答案】C【变式二】一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．【答案】(7＋4)∶9【解析】设扇形半径为R，内切圆半径为r.则(R－r)sin60°＝r，即R＝1＋r.又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝πr2，∴＝.【易错试题常警惕】易错典例：已知角的终边过点,,求角的的正弦值、余弦值.易错分析：学生在做题时容易遗忘的情况．正确解析：当时，；当时，温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.-10-\n【典例】满足cosα≤－的角α的集合为________.【答案】-10-
