九、椭圆与双曲线的离心率一、选择题1．【2022年浙江卷】椭圆的离心率是A.B.C.D.【答案】B【解析】椭圆中.离心率，故选B.2．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（）A.6B.C.4D.2【答案】C3．【2022届南宁市高三摸底联考】已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0，弦的中点坐标是M-4,1，则椭圆的离心率是（）A.12B.22C.32D.55【答案】C【解析】设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM=-b2a2kxM,代入k=1,M(-4,1),解得b2a2=14,e=1-(ba)2=32，选C.-15-\n4．【2022届浙江省温州市高三9月测试】正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.(5-12,1)B.(0,5-12)C.(3-12,1)D.(0,3-12)【答案】B5．【2022届江西省南昌市高三上学期摸底】已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】设，渐近线方程为，对称点为，即有，且，解得，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即有e2=5，解得，故选C．6．【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知F1,F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2==45°，则该椭圆与双曲线的离线率知积的最小值为（）A.24B.22C.1D.2【答案】B-15-\n在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos45°，化简得：（）a12+（）a22=4c2，即2+2e12+2+2e22=4，又∵2+2e12+2+2e22≥222-2e1∙e2=22e1∙e29，∴22e1∙e2≤4，即e1∙e2≥22，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22．故选：B．7．【2022届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线交于，两点，且，则双曲线离心率的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A、B两点，且，故直线与双曲线相交只能交于左右两只，即A在左支，B在右支，设，，右焦点，因为，所以，，由于，所以，故，即即，选C.8．【2022届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】设点是椭圆（-15-\n）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是A.B.C.D.【答案】A9．【2022届广东省阳春市第一中学高三上第二次月考】若圆x2+y2-3x-4y-5=0关于直线ax-by=0(a>0,b>0)对称，则双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为（）A.43B.53C.54D.74【答案】C【解析】圆的半径为：32,2，满足题意时，直线过圆心，即32a-2b=0,∴ba=34，双曲线的离心率为：e=ca=a2+b2a2=54.本题选择C选项.10．【2022届广西钦州市高三上第一次检测】已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c（c>0），抛物线y2=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠ABO=30°（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A.3+1B.2C.2+1D.5+1【答案】A-15-\n11．【2022届湖北省黄冈中学高三三模】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形.若，记椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,(m>n)，由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形。若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m−n=2a2，即有a1=5+c,a2=5−c,(c<5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c>10，可得c>,即有由离心率公式可得由于,则有.则的取值范围为(,+∞).故选：A.12．【2022届山西省名校高三五校模拟联考一】设双曲线的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为-15-\n，已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B二、填空题13．【2022届浙江省温州市高三9月测试】双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为__________，渐进线方程为__________．【答案】x24-y28=1y=±2x【解析】∵实轴2a=4,∴a=2，又∵离心率ca=3，∴c=23，∴b=c2-a2=22，∴双曲线方程为x24-y28=1，渐进线方程为y=±bax=±2x，故答案为x24-y28=1，y=±2x.14．【2022届云南省师范大学附属中学高三月考二】已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点与抛物线x2=16ay的焦点重合，则双曲线的离心率为__________．【答案】4【解析】由题意知，a2+b2=4a，∴b2a2=15，∴双曲线的离心率e=1+b2a2=4．15．【2022届江苏省仪征中学高三10月检测】设P为有公共焦点的椭圆与双曲线-15-\n的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.【答案】,即故答案为.16．【2022届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，M为椭圆上一点，且F1M•F2M=3c2，则此椭圆离心率的取值范围是__________．【答案】55， 12-15-\n三、解答题17．已知椭圆过点，离心率是．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）直线过点且交椭圆于、两点，若（其中为坐标原点），求直线的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得，再根据离心率求得（2）设，，则由得，再设直线方程，化简得和与积的关系，最后联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代人关系式，求解得斜率，注意验证斜率不存在时是否满足条件试题解析：（Ⅰ）将代入方程可得，离心率，∴，∴的方程为：．-15-\n可得，∴，，∵，∴，∴，∴．∴直线的方程为或．18．【2022届云南师范大学附属中学月考一】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>0,b>0）的两个顶点分别为A(-a,0)，B(a,0)，点P为椭圆上异于A,B的点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，k1k2=-12.（1）求椭圆C的离心率；-15-\n（2）若b=1，设直线l与x轴交于点D(-1,0)，与椭圆交于M,N两点，求ΔOMN的面积的最大值.【答案】(1)e=22;（2）面积的最大值为22.试题解析：（1）设P(x0， y0)， 代入椭圆的方程有：x02a2+y02b2=1，整理得：y02=-b2a2(x02-a2)，又k1=y0x0+a，k2=y0x0-a，所以k1k2=y02x02-a2=-12，联立两个方程有k1k2=-b2a2=-12， 解得：e=ca=22．（2）由（Ⅰ）知a2=2b2，又b=1，所以椭圆C的方程为x22+y21=1.设直线l的方程为：x=my-1， 代入椭圆的方程有：(m2+2)y2-2my-1=0，设M(x1， y1)， N(x2， y2)，由韦达定理：y1+y2=2mm2+2， y1y2=-1m2+2， 所以S△OMN=12|OD||y1-y2|=12(y1+y2)2-4y1y2=128m2+8|m2+2|=2m2+1|m2+2|，令m2+1=t(t≥1)，则有m2=t2-1，代入上式有S△OMN=2m2+1|m2+2|=2t|t2+1|=2t+1t≤22，当且仅当t=1， 即m=0时等号成立，所以△OMN的面积的最大值为22．19．【2022届湖北省武汉市学部分学校新高三起点调研】设O为坐标原点，动点M在椭圆C:x2a2+y2=1（a>1，a∈R）上，过O的直线交椭圆C于A,B两点，F为椭圆C的左焦点.（1）若三角形FAB的面积的最大值为1，求a的值；（2）若直线MA,MB的斜率乘积等于-13，求椭圆C的离心率.【答案】(1)2；(2)63.-15-\n【解析】试题分析：试题解析：（1）SΔFAB=12OF•yA-yB≤OF=a2-1=1，所以a=2（2）由题意可设A(x0,y0)，B(-x0,-y0)，M(x,y)，则x2a2+y2=1，x02a2+y02=1，kMA•kMB=y-y0x-x0•y+y0x+x0=y2-y02x2-x02=1-x2a2-(1-x02a2)x2-x02=-1a2(x2-x02)x2-x02=-1a2所以a2=3，所以a=3所以离心率e=ca=23=63.20．【2022届陕西省西安中学高三10月月考】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.（1）若e=32，求椭圆的方程；（2）设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点，M,N分别为线段AF2,BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且22<e≤32，求k的取值范围.【答案】(1)x212+y23=1；(2)-∞,-24∪24,+∞【解析】试题分析：-15-\n试题解析：（1）由题意得c=3,ca=32，∴a=23.又因为a2=b2+c2，∴b2=3.所以椭圆的方程为.（2）由x2a2+y2b2=1,y=kx,得(b2+a2k2)x2-a2b2=0.设A(x1,y1), B(x2,y2).所以x1+x2=0,x1x2=-a2b2b2+a2k2，依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2.因为F2A=(x1-3,y1)，F2B=(x2-3,y2)，所以F2A⋅F2B=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0.即-a2(a2-9)(1+k2)a2k2+(a2-9)+9=0，将其整理为k2=a4-18a2+812-a4+18a2=-1-81a4-18a2.因为，所以23≤a<32，12≤a2<18.所以k2≥18，即k∈-∞,-24∪24,+∞.21．【2022届湖南省岳阳市一中高三上第一次月考】已知点是直线与椭圆的一个公共点，分别为该椭圆的左右焦点，设取得最小值时椭圆为.（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）已知为椭圆上关于轴对称的两点，是椭圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点，试判断是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)；（2）.-15-\n试题解析：（1）联立，得，∵直线与椭圆有公共点，∴，解得，∴，又由椭圆定义知，故当时，取得最小值，此时椭圆的方程为；离心率为；同理，得，∴，-15-\n又，∴，∴，∴为定值1.22．【2022届河北省定州中学高三上第二次月考】已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(-1,e)在椭圆上，e为椭圆的离心率，且点M为椭圆短半轴的上顶点，ΔMF1F2为等腰直角三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F2作不与坐标轴垂直的直线l，设l与圆x2+y2=a2+b2相交于A,B两点，与椭圆相交于C,D两点，当F1A·F1B=λ且λ∈[23,1]时，求ΔF1CD的面积S的取值范围.【答案】（1）x22+y2=1（2）[435， 467]试题解析：（Ⅰ）由△MF1F2是等腰直角三角形，得b=c， a2=2b2，从而得到e=22，故而椭圆经过(-1， 22)，代入椭圆方程得12b2+12b2=1，解得b2=1， a2=2，所求的椭圆方程为x22+y2=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1(-1， 0)， F2(1， 0)，由题意，设直线l的方程为x=ty+1，-15-\nA(x1， y1)， B(x2， y2)，由{x=ty+1， x2+y2=3， 得(t2+1)y2+2ty-2=0，则y1+y2=-2tt2+1， y1y2=-2t2+1， F1A · F1B=(x1+1， y1) · (x2+1， y2)=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(ty1+2)(ty2+2)+y1y2=(t2+1)y1y2+2t(y1+y2)+4=-2-4t2t2+1+4=2-2t2t2+1．∵F1A · F1B∈[23， 1]，∴23≤2-2t2t2+1≤1，解得t2∈[13， 12]．由{x=ty+1， x22+y2=1， 消x得(t2+2)y2+2ty-1=0．设C(x3， y3)， D(x4， y4)，y3+y4=-2tt2+2，y3y4=-1t2+2，-15-
