十一、立体几何角的计算与证明一、选择题1．【2022年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是A.B.C.D.【答案】A2．【2022届浙江省温州市高三9月测试（一模）】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）-23-\nA.43+πB.23+πC.4+π3D.4+2π3【答案】A3．如图（1）在正方形SG1G2G3中，E,F分别是边G1G2,G2G3的中点，沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图(2),使G1G2G3三点重合于G,下面结论成立的是()A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.DG⊥平面SEF【答案】A【解析】证明：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E,SG3⊥G3F，即SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=E,∴SG⊥平面EFG，故选A.4．如图，在四面体中，若，AB=BC，，是的中点，则下列命题中正确的是（）-23-\nA.平面平面B.平面平面C.平面平面，且平面平面D.平面平面，且平面平面【答案】C【解析】因为，，是的中点，⇒平面，由面面垂直判定定理可得平面平面，平面平面，故选C.5．已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与．给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的个数是（）．A.个B.个C.个D.个-23-\n【答案】C②当点与重合时，且，∴平面，∵对于任意给定的点，存在点，使得，故②正确．③只有垂直于在平面中的射影时，，故③正确．④只有平面时，④才正确，因为过点的平面的垂线与无交点，故④错误．综上，正确的结论是②③，故选．6．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，点D、E分别是棱AB、BB1的中点，若DE⊥EC1，则侧棱AA1的长为（）．A.1B.2C.2D.22【答案】B【解析】-23-\n7．【2022届江西省南昌市高三上摸底】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，为球的直径且，则点到底面的距离为A.B.C.D.【答案】B【解析】∵三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径且，∴球心是的中点，球半径，过作平面，垂足是，∵满足，，∴是中点，且，∴，∴点到底面的距离为，故选B．-23-\n8．【2022届广东省广州高三下第一次模拟】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）．A.B.C.D.【答案】C9．【2022届海南省八校高三上新起点联考】在三棱锥中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】-23-\n10．【2022年浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟（二）】如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，设(在上，在上，在上)．由，，-23-\n知，，．∴在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧)长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为．故选B．11．【2022届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下第八次模拟】已知正方体的棱长为2，其表面上的动点到底面的中心的距离为，则线段的中点的轨迹长度为（）A.B.C.D.【答案】B12．【2022届辽宁省庄河市高级中学高三上开学】已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一个球面上，底面ΔABC满足BA=BC=6,∠B=900，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（）A.21πB.323πC.163πD.16π【答案】D【解析】-23-\n二、填空题13．【2022届浙江省名校协作体高三上学期考试】一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为____________，体积为_________．【答案】【解析】：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，∵正方体的棱长是2，∴三棱锥的体积，∴剩余部分体积，-23-\n截面为边长为的正三角形，其面积为则该几何体的表面积为.14．在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的体积为__________，其外接球的表面积为__________．【答案】，15．【2022届浙江省杭州高级中学高三2月高考模拟】如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成角为，顶点在平面上的射影为点，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为__________.【答案】【解析】当四边形ABOC为平面四边形时，点A到点O的距离最大。此时平面ABOC⊥平面α，过D作DN⊥平面ABOC，垂足为N，则N为正三角形ABC的中心。-23-\n16．【2022课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】-23-\n三、解答题17．【2022浙江卷】如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.（I）证明：CE∥平面PAB；（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值-23-\n【答案】（I）见解析；（II）.（Ⅰ）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可证明；（Ⅱ）由题意，取BC，AD的中点M，N，可得AD⊥平面PBN，即BC⊥平面PBN，过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH．可知MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．依此可在Rt△MQH中，求∠QMH的正弦值．试题解析：（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连接EF，FB．因为E，F分别为PD，PA中点，所以且，又因为，，所以且，即四边形BCEF为平行四边形，所以，因此平面PAB．-23-\n所以AD⊥平面PBN，由BC//AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN．过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH．MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．设CD=1．在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在Rt△MQH中，QH=，MQ=，所以sin∠QMH=，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．18．【2022届浙江省温州市高三9月测试（一模）】如图，四面体ABCD中，AB=BC=CD=33BD=12AD=1，平面ABD⊥平面CBD．-23-\n（1）求AC的长；（2）点E是线段AD的中点，求直线BE与平面ACD所成角的正弦值．【答案】（1）2；（2）217.试题解析：（1）∵AB=1，BD=3，AD=2，∴AB⊥BD，又∵平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD，∴AB⊥平面CBD，∴AB⊥BC，∵AB=BC=1，∴AC=2.由BC=CD=1，BD=3，得∠BCD=120°，∴BG=32，又∵AB=1，-23-\n∴AG=72，又∵BE=12AD=1，∴sin∠BEH=BHBE=217．19．【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】如图，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°.（I）求证：直线AE⊥平面PAB；（II）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)277.【解析】试题分析：（1）易证PA⊥AE，再在底面证明AE⊥CD，从而目标得证；（2）连接PE,过A点作AH⊥PE于H点.由（1）易得AH⊥平面PCD，所以∠AEP为直线AE与平面PCD所成的角，在△PAE中求出所成角的正弦值即可.试题解析：（I）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴AE⊥CD又∵AB//CD,∴AE⊥AB又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AE,PA∩AB=A∴直线AE⊥平面PAB.-23-\n（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系A-xyz.P0,0,2,E0,3,0,C1,3,0,D-1,3,0.AE=0,3,0,PC=1,3,-2,DC=2,0,0设平面PCD的法向量n=x,y,z，PC⋅n=0DC⋅n=0⇒x+3y-2z=02x=0⇒n=0，1，32cos<AE,n>=AE⋅nAE⋅n=277.所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为27720．【2022北京卷】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PPD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；-23-\n（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）（3）试题解析：解：（I）设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（II）取的中点，连接，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则，，，，.-23-\n设平面的法向量为，则，即.令，则，.于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.21．【2022届广东省东莞外国语学校高三第一次月考】如图,矩形中,,分别为边上的点,且,将沿折起至位置(如图所示),连结,其中.(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)在线段上是否存在点使得?若存在,求出点的位置；若不存在,请说明理由.(Ⅲ)求点到的距离.-23-\n【答案】（1）见解析；（2）（Ⅲ） 由PF⊥平面ABED，知PF为三棱锥P-ABE的高，利用等积法能求出点A到平面PBE的距离．试题解析：(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知,,,在中,,所以在图中,易得,在中,,所以又,平面,平面,所以平面.(Ⅱ)当为的三等分点(靠近)时,平面.证明如下:因为,,所以又平面,平面,所以平面.（注：学生不写平面,扣1分）(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高.-23-\n设点到平面的距离为,由等体积法得,即,又,,所以,即点到平面的距离为.22.【2022届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】如图，已知四棱锥，底面为菱形，，,平面，分别是的中点.（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）试题解析：(1)证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形。因为为BC的中点，所以,又,因此，因为，平面，所以，而，所以-23-\n（2）设为上任意一点，连接、所以=45，于是因为平面，平面，所以平面平面，过作于，则由面面垂直的性质定理可知:平面,所以，过过作于，连接，平面，所以,则为二面角的平面角，在中，，又是的中点，,且在中，，又=,-23-\n在中，==即二面角的余弦值为.-23-
