六、平面向量的模与夹角一、选择题1．已知单位向量a,b满足a+b=a-b，则a与b-a的夹角是()A.π6B.π3C.π4D.3π4【2022届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】【答案】D【解析】∵|a+b|=|a-b|∴a+b2=a-b2，∴a⋅b=0即a⊥b如图OA=a=1,0,OB=b=0,1,OC=b-a=-1,1即是第二象限的角平分线，所以由图可见a与b-a的夹角是3π4，故选D.2．【2022届河南省林州市第一中学高三10月调研】已知向量满足，则（）A.B.C.D.【答案】C3．【2022届河南省洛阳市高三期中】向量均为非零向量，，则的夹角为（）A.B.C.D.-15-\n【答案】A【解析】，，所以，即，设的夹角为，，又，所以的夹角为，故选A.4．【2022届云南省红河州高三统一检测】设，，，且，则在上的投影的取值范围()A.B.C.D.【答案】D当时，当故当时，取得最小值为，即当时，，即-15-\n综上所述故答案选.5．【2022届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】半圆的直径AB＝4,O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（）A.2B.0C.D.【答案】D6．【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若a=b=c=2，且a⋅b=0，a-c⋅b-c≤0，则a+b-c的取值范围是（）A.0,22+2B.0,2C.22-2,22+2D.22-2,2【答案】D【解析】如图所示：OA=a，OB=b，OC=c，OD=a+b∵a-c⋅b-c≤0，∴点C在劣弧AB上运动，a+b-c表示C、D两点间的距离CD。CD的最大值是BD＝２，CD最小值为OD-2=22-2.-15-\n故选：D.7．【2022届河北省武邑中学高三上第二次调研】设为单位向量且相互垂直，若向量满足，则的最大值是（）A.B.2C.D.1【答案】A【解析】由题意结合可设，8．【2022届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知直线PA,PB分别于半径为1的圆O相切于点A,B,PO=2,PM=2λPA+(1-λ)PB.，若点M在圆O的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是()A.(-1,1)B.(0,23)C.(13,1)D.(0,1)【答案】B【解析】因为PO=2，由切线长定理知PA=PB=3，又OM=OP+PM=OP+2λPA+(1-λ)PB，因此OM2=9λ2-6λ+1<1，解得0<λ<23．-15-\n点睛：本题首先要学会问题转化，一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量OM=OP+PM=OP+2λPA+(1-λ)PB=OB+2λPA-λPB，再根据向量的平方运算，求出|OM|2=9λ2-6λ+1，令其小于半径即可求出．9．【2022届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在中，为边上一点，且，向量与向量共线，若，，，则（）A.3B.C.2D.【答案】B所以本题选择B选项.10．【2022届四川省双流中学高三上9月月考】已知平面向量满足，若，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D-15-\n【解析】因为，所以，即，由余弦定理可得，如图，建立平面直角坐标系，则，由题设点在以为圆心，半径为的圆上运动，结合图形可知：点运动到点时，，应选答案D.11．【2022届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知平面向量满足，则最大值为()A.B.C.D.【答案】D-15-\n，则向量的夹角为60°，设，则，故：，设O到BC的距离为，则，12．【2022届浙江省ZDB联盟高三一模】如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（）-15-\nA.B.C.1D.【答案】C【解析】，选C.二、填空题13．【2022届浙江省温州市高三9月测试一】设向量a，b，且|a+b|=2|a-b|，|a|=3，则|b|的最大值是__________；最小值是__________．【答案】9114．【2022年浙江卷】已知向量a,b满足，则的最小值是___________，最大值是______.【答案】4【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，，则：，令，则，-15-\n据此可得：，即的最小值是4，最大值是．15．【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若非零向量满足，且，则向量与的夹角为_____．【答案】∴cos===，即.16．【2022届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=135∘，斜坐标定义：如果OP=xe1+ye2（其中e1，e2分别是x轴，y轴的单位向量），则x,y叫做P的斜坐标.（1）已知P得斜坐标为1,2，则OP=__________．（2）在此坐标系内，已知A0,2,B2,0，动点P满足AP=BP，则P的轨迹方程是__________．-15-\n【答案】1y=x【解析】（1）∵OP=e1+2e2=e12+2e1∙2e2+2e22=1，∴OP=1．（2）设P（x，y），由AP=BP得|（x，y﹣2）|=|（x﹣2，y）|，∴x2+y-22=x-22+y2整理得：y=x．故答案为：1；y=x.三、解答题17．【2022届江西省六校高三上第五次联考】已知向量满足，，与的夹角为.(1)求；(2)若向量与垂直，求实数的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).试题解析：(1)∵向量，满足||＝3,||＝1，与的夹角为，∴||＝＝＝(2)∵向量与垂直，∴()·()＝0，∴，∴解得.18．已知a，b是两个单位向量．（Ⅰ）若|3a-2b|=3，试求|3a+b|的值；（Ⅱ）若a，b的夹角为60∘，试求向量m=2a+b与n=2b-3a的夹角.【答案】（1）23;（2）120∘.【解析】试题分析：（Ⅰ）直接把|3a-2b|=3两边平方，求得a⋅b=13，从而可求|3a+b|的值；-15-\n（Ⅱ）利用平面向量的数量积运算求得m⋅n，再求出|m|，|n|，代入数量积公式求得向量m，n的夹角即可试题解析：（1）∵a，b是两个单位向量，∴ |a|=|b|=1，又|3a-2b|=3，∴9|a|2-12a⋅b+4|b|2=9，即a⋅b=13．∴ |3a+b|=9|a|2+6a⋅b+|b|2=9×1+6×13+1=23（2）|m|=(2a+b)2=4|a|2+4a⋅b+|b|2=4×1+4×12+1=7，|n|=(2b-3a)2=4|b|2-12a⋅b+9|a|2=4-12×12+9=7，m⋅n=(2a+b)⋅(2b-3a)=2|b|2+a⋅b-6|a|2=-72，cosθ=m⋅n|m||n|=-727⋅7=-12，∵ 0≤θ≤180∘，∴夹角θ=120∘.19．【2022届广东省兴宁市沐彬中学高三上第二次月考】已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满足：，（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当k=2，求的取值范围。【答案】（1）见解析（2）试题解析：（1）设P（x，y），．当k=1时，由，得x2+y2﹣1=（1﹣x）2+y2，整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y轴的直线；当k≠1时，由，得x2+y2﹣1=k（1﹣x）2+ky2，整理得：，表示以点为圆心，以为半径的圆．（2）当k=2时，方程化为（x﹣2）2+y2=1，即x2+y2=4x﹣3，-15-\n∵∴，又x2+y2=4x﹣3，∴．问题归结为求6x﹣y的最值，令t=6x﹣y，∵点P在圆（x﹣2）2+y2=1，圆心到直线t=6x﹣y的距离不大于圆的半径，∴，解得．∴．20．已知.（1）当为何值时,最小?此时与的位置关系如何?（2）当为何值时,与的夹角最小?此时与的位置关系如何?【答案】（1）当时,最小,；（2）时,与的夹角最小,与平行.试题解析：（1）,当时,最小,此时,,∴∴当时,最小,此时.（2）设与的夹角为,则,-15-\n要与的夹角最小,则最大,∵,故的最大值为,此时,,解之得,.∴时,与的夹角最小,此时与平行.21．【2022届河北省衡水市馆陶县第一中学高三上第一次月考】已知向量,且,（为常数）(Ⅰ)求及;(Ⅱ)若的最小值是,求实数的值.【答案】(1)；(2)．【解析】试题分析：（1）用坐标表示向量的模长；（2）转化成二次函数求最值问题，(1)得②当时，取得最小值,-15-\n由已知得:解得；当时当且仅当时，取得最小值，已知得；解得，这与相矛盾，综上所述，为所求.22．【2022届河南省郑州市第一中学高三上学期入学】已知圆关于直线对称的圆为.（1）求圆的方程；（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在直线和试题解析：（1）圆化为标准为，设圆的圆心关于直线的对称点为，则，且的中点在直线上，所以有，解得：，所以圆的方程为.-15-\n（2）由，所以四边形为矩形，所以.要使，必须使，即：.①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆交于两点，.因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线满足条件.，，，要使，必须使，即，也就是：整理得：解得：，所以直线的方程为存在直线和，它们与圆交两点，且四边形对角线相等.-15-
