平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (20分钟 35分)1.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则a·b的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.a+b=(3,k+2),由a+b与a共线,可得3k-(k+2)=0,解得k=1,则a=(1,1),从而a·b=1×2+1×2=4.2.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为( )A.B.C.D.【解析】选B.a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,|a|==,|b|==,设a与b的夹角为θ,则cosθ===.又0≤θ≤π,所以θ=.3.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1,则c的坐标为( )A.(3,-2)B.(3,2)C.(-3,-2)D.(-3,2)【解析】选C.采用验证的方法知,c=(-3,-2)满足c·a=-6+6=0,所以c⊥a,b·c=1×(-3)+(-2)×(-2)=1.4.已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为,且m·n=-1,则|n|=( )A.-1B.1C.2D.-2【解析】选B.cos===-,|n|=1.5.(2020·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则||= ;·= . 【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),8
所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),||=,又=(0,-1),所以·=-1.答案: -1 【补偿训练】 已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥(O为坐标原点),则点C的坐标是 . 【解析】设C(x,y),则=(x,y),又=(-3,1),所以=-=(x+3,y-1),因为∥,所以5(x+3)-0·(y-1)=0,所以x=-3.因为=(0,5),所以=-=(x,y-5),=-=(3,4).因为⊥,所以3x+4(y-5)=0,所以y=,所以C点的坐标是.答案:6.若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:(1)向量a的模;(2)与a平行的单位向量的坐标;(3)与a垂直的单位向量的坐标.【解析】(1)因为a==(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a|==5.(2)与a平行的单位向量是±=±(4,-3),8
即坐标为或.(3)设与a垂直的单位向量为e=(m,n),则a·e=4m-3n=0,所以=.又因为|e|=1,所以m2+n2=1.解得或所以e=或. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·宜宾高一检测)已知向量a=(2,m),b=(4,-2),且(a+b)⊥(a-b),则实数m=( )A.-4B.4C.±2D.±4【解析】选D.因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+m2-16-4=0,解得m=±4.2.直角坐标系xOy中,=(2,1),=(3,k),若△ABC是直角三角形,则k的可能值的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由-==(-1,1-k),若·=0,所以k=-6,若·=0,所以k=-1,若·=0,所以k2-k+3=0,由Δ<0知无解.所以k的可能值有2个.3.(2020·绵阳高一检测)在△ABC中,角A为,角A的平分线AD交BC于点D,已知AD=2,且λ=-(λ∈R),则在方向上的投影是( )A.1B.C.3D.【解析】选D.由λ=-可得:=λ+,因为B,C,D三点共线,故λ+=1,即λ=.所以=+.以A为原点,以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示,则D(3,),设B(m,0),C(n,n),8
由=+得:,解得m=3,n=3.故B(3,0),所以在方向上的投影为||cos30°=.4.已知向量=(2,2),=(4,1)(O为坐标原点),在x轴上有一点P,使·有最小值,则点P的坐标是( )A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】选C.设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,·最小,此时点P的坐标为(3,0).5.已知向量a=(1,0),b=(cosθ,sinθ),θ∈,则|a+b|的取值范围是( )A.[0,]B.[1,]C.[1,2]D.[,2]【解析】选D.|a+b|==.因为θ∈,所以cosθ∈[0,1].所以|a+b|∈[,2].二、填空题(每小题5分,共15分)6.设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则cosθ= . 【解析】b=a+(-1,-1)=(1,1),则a·b=6.又|a|=3,|b|=,所以cosθ===1.答案:17.已知a=(2,1)与b=(1,2),要使|a+tb|最小,则实数t的值为 . 8
【解析】因为a+tb=(2+t,1+2t),所以|a+tb|==.所以当t=-时,|a+tb|有最小值.答案:-8.若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是 . 【解析】因为2a-3b与c的夹角为钝角,所以(2a-3b)·c<0,即(2k-3,-6)·(2,1)<0,所以4k-6-6<0,所以k<3.又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k=-.当k=-时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,即2a-3b与c反向.综上,k的取值范围为∪.答案:∪ 【补偿训练】 已知向量a=(-2,-1),b=(t,-2),且a与b的夹角为锐角,则实数t的取值范围为 . 【解析】因为a与b的夹角为锐角,所以cos
