高考解答题仿真练11．已知向量m＝(cosx,1)，n＝，f(x)＝m·n.(1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(B)＝，sinAsinC＝sin2B，求a－c的值．解 由题意得，f(x)＝cosxsin＋1＝cosx＋1＝sin2x－×＋1＝sin2x－cos2x＋＝sin＋.(1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是和.(2)由f(B)＝sin＋＝，得sin＝1.又B是△ABC的内角，∴2B－＝，B＝.又sinAsinC＝sin2B，∴由正弦定理可得ac＝b2.在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得ac＝(a－c)2＋2ac－ac，则a－c＝0.2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，∠APB＝90°，BP＝BC，M为PC的中点．求证：8\n(1)AP∥平面BDM；(2)BM⊥平面ACP.证明 (1)设AC∩BD＝O，连结OM，因为ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点．因为M为PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM.(2)因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP.又因为平面ABP⊥平面BCP，平面ABP∩平面BCP＝BP，AP⊂平面ABP，所以AP⊥平面BCP.又因为BM⊂平面BCP，所以AP⊥BM.因为BP＝BC，M为PC的中点，所以BM⊥CP.又因为AP∩CP＝P，AP，CP⊂平面ACP，所以BM⊥平面ACP.3．如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C－D－E－F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形．设DE＝t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元，经测算f(t)＝(1)用t表示线段EF的长；(2)求修建该参观线路的最低费用．解 设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥l，DQ＝QE.8\n以O为坐标原点，OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.(1)由题意，得点E的坐标为.设直线EF的方程为y－1＝k(k<0)，即kx－y＋1－＝0.因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF的距离为＝1，解得k＝.代入y－1＝k，可得点F的坐标为.所以EF＝＝＋，即EF＝＋(0<t<2)．(2)设修建该参观线路的费用为y万元．①当0<t≤时，y＝5＝5，由y′＝5<0，则y在上单调递减．所以当t＝时，y取最小值32.5；②当<t<2时，y＝＝12t＋－－，所以y′＝12－＋＝，8\n因为<t<2，所以3t2＋3t－1>0，所以当t∈时，y′<0，当t∈(1,2)时，y′>0，所以y在上单调递减；在(1,2)上单调递增．所以当t＝1时，y取最小值24.5.由①②知，修建该参观线路的最低费用为24.5万元．4．(2022·江苏金陵中学调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点.设F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF，BF并延长，分别交椭圆于C，D两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2＝mk1？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆的半焦距为c，则c＝，由题意知解得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)①当AF⊥x轴时，A，B，C，F(，0)．则kBF＝，直线BD的方程为y＝(x－)．由消去y，得13x2－2x－45＝0，因为x＝－是该方程的一个解，所以点D的横坐标xD＝，则yD＝，即D.8\n所以k2＝＝，又k1＝，所以k2＝7k1，即m＝7.②当AF与x轴不垂直时，设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，k1＝，又F(，0)，所以直线AF的方程为y＝(x－)．由消去y，得(7－2x0)x2－8yx－7x＋8x0＝0.因为x＝x0是该方程的一个解，所以点C的横坐标xC＝.又点C(xC，yC)在直线y＝(x－)上，所以yC＝(xC－)＝，从而点C的坐标为，同理，点D的坐标为，所以k2＝＝＝7k1，即m＝7.综合①②可知，存在m＝7，使得k2＝7k1.8\n5．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．(1)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；(2)若λ＝，且x≥1，证明：f(x)≤g(x)；(3)若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数λ的取值范围．(1)解 f′(x)＝lnx＋1，则f′(1)＝1且f(1)＝0，所以函数y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1，从而g′(1)＝2λ＝1，即λ＝.(2)证明 设函数h(x)＝xlnx－(x2－1)，x∈[1，＋∞)，则h′(x)＝lnx＋1－x.设p(x)＝lnx＋1－x，从而p′(x)＝－1≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，所以p(x)＝lnx＋1－x≤p(1)＝0，即h′(x)≤0，因此函数h(x)＝xlnx－(x2－1)在[1，＋∞)上单调递减，即h(x)≤h(1)＝0，所以当x≥1时，f(x)≤g(x)成立．(3)解 设函数H(x)＝xlnx－λ(x2－1)，x∈[1，＋∞)，从而对任意x∈[1，＋∞)，不等式H(x)≤0＝H(1)恒成立．又H′(x)＝lnx＋1－2λx，当H′(x)＝lnx＋1－2λx≤0，即≤2λ恒成立时，函数H(x)单调递减．设r(x)＝，x∈[1，＋∞)，则r′(x)＝≤0，所以r(x)max＝r(1)＝1，即2λ≥1，所以λ≥，符合题意；当λ≤0时，H′(x)＝lnx＋1－2λx≥0恒成立，此时函数H(x)单调递增．于是，不等式H(x)≥H(1)＝0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；当0<λ<时，设q(x)＝H′(x)＝lnx＋1－2λx，x≥1，则由q′(x)＝－2λ＝0，得x＝>1.8\n当x∈时，q′(x)＝－2λ>0，此时q(x)＝H′(x)＝lnx＋1－2λx单调递增，所以H′(x)＝lnx＋1－2λx>H′(1)＝1－2λ>0，故当x∈时，函数H(x)单调递增．于是当x∈时，H(x)>0成立，不符合题意．综上所述，实数λ的取值范围为.6．(2022·苏州调研)已知等差数列{an}的前2m－1项中，奇数项的和为56，偶数项的和为48，且a2＝3(其中m∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若ak1，ak2，…，akn，…是一个等比数列，其中k1＝1，k2＝5，求数列{kn}的通项公式；(3)若存在实数a，b，使得a≤≤b对任意n∈N*恒成立，求b－a的最小值．解 (1)由题意，·m＝56，·(m－1)＝48，因为a2＋a2m－2＝a1＋a2m－1，所以＝，解得m＝7.所以a1＋a13＝16，因为a1＋a13＝a2＋a12，且a2＝3，所以a12＝13.设数列{an}的公差为d，则10d＝a12－a2＝10，所以d＝1.所以a1＝2，通项公式an＝n＋1(n∈N*)．(2)由题意，ak1＝a1＝2，ak2＝a5＝6，设这个等比数列的公比为q，则q＝＝3.那么akn＝2×3n－1，另一方面akn＝kn＋1，所以kn＝2×3n－1－1(n∈N*)．(3)记cn＝＝，8\n则cn＋1－cn＝－＝.因为n∈N*，所以当n≥2时，－2n2＋2n＋3＝－2n(n－1)＋3<0，即cn＋1<cn，又c2－c1＝>0，所以当n＝2时，cn取最大值c2＝，所以b≥.又c1＝0，当n>1时，cn>0，所以当n＝1时，cn取最小值c1＝0，所以a≤0.综上，b－a的最小值为.8
