专题9.3圆的方程【基础巩固】一、填空题1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为________．【答案】x2＋y2＝2【解析】AB的中点坐标为(0,0)，AB＝＝2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.2．(2022·扬州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________．【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝1【解析】已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】方程为2＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.4．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．【答案】5．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．【答案】(x－2)2＋2＝【解析】设圆心C坐标为(2，b)(b<0)，则|b|＋1＝.解得b＝－，半径r＝|b|＋1＝，故圆C的方程为：(x－2)2＋2＝.5\n6．(2022·无锡期末)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程为________．【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝1【解析】设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.7．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________．【答案】(0，－1)【解析】圆C的方程可化为2＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大．8．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．【答案】x＋y－1＝0二、解答题9．已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．解 l2平行于x轴，l1与l3互相垂直．三交点A，B，C连线构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．解方程组5\n10．在△ABC中，已知BC＝2，且＝m(m>0)，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解 如图，以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点，建立直角坐标系．则有B(－1,0)，C(1,0)，设点A的坐标为(x，y)．由＝m，得＝m.整理得(m2－1)x2＋(m2－1)y2－2(m2＋1)x＋(m2－1)＝0.①当m2＝1时，m＝1，方程是x＝0，轨迹是y轴．当m2≠1时，对①式配方，得2＋y2＝.所以，点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆(除去圆与BC的交点)．【能力提升】11．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为________．【答案】3＋2【解析】由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，5\n∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．∴＋的最小值为3＋2.12．已知圆心(a，b)(a＜0，b＜0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2，则圆的方程为________．【答案】(x＋2)2＋(y＋3)2＝913．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝PB2＋PA2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．【答案】74【解析】设P(x0，y0)，d＝PB2＋PA2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.14．(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．5\n解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)，且＝b＋5.解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)∵kOA＝2，∴可设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.5
