星期二 (实际应用问题) 2022年____月____日如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4dm(圆心O在弓形EMF内)，∠EOF＝.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A，D在上，设∠AOD＝2θ.(1)求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；(2)当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cosθ的值．解 (1)设矩形铁片的面积为S，∠AOM＝θ.当0<θ<时(如图1)，AB＝4cosθ＋2，AD＝2×4sinθ，S＝AB×AD＝(4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．当≤θ<时(如图2)，AB＝2×4cosθ，AD＝2×4sinθ，故S＝AB×AD＝64sinθcosθ＝32sin2θ.综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为S＝(2)当0<θ<时，求导得S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]＝16(4cos2θ＋cosθ－2)．令S′＝0，得cosθ＝.记区间内余弦值等于的角为θ0(唯一存在)．列表：2\nθ(0，θ0)θ0S′＋0－S增函数极大值减函数又当≤θ<时，S＝32sin2θ在上单调递减，所以当θ＝θ0即cosθ＝时，矩形的面积最大．2
