仿真模拟练(限时120分钟,满分150分)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2-x-6<0},则P∩Q等于( ) A.{1,2,3}B.{1,2}C.[1,2]D.[1,3)2.若iz=-1+i,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设曲线C是双曲线,则“C的方程为x2-y24=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若2m>2n>1,则( )A.1m>1nB.log12m>log12nC.ln(m-n)>0D.πm-n>15.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )16\nA.16π3B.π3C.2π9D.16π96.我们可以用随机模拟的方法估计π的值,如图示程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数).若输出的结果为786,则由此可估计π的近似值为( )A.3.126B.3.144C.3.213D.3.1517.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π4,将函数y=f(x)的图象向左平移3π16个单位后,得到的图象关于y轴对称,那么函数y=f(x)的图象( )A.关于点-π16,0对称B.关于点π16,0对称C.关于直线x=π16对称D.关于直线x=-π4对称8.《中国诗词大会》亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.因为前四场播出后反响很好,所以节目组决定将《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场,并要求《将进酒》与《望岳》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有( )A.144种B.48种C.36种D.72种16\n9.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点,若|AF|+|BF|=6,点M与直线l的距离不小于85,则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.0,223B.0,53C.63,1D.223,110.已知变量x,y满足条件y≤x,x+y≥2,y≥3x-6,则目标函数z=3x-yx2+y2的最大值为( )A.12B.1C.3D.6-2211.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,H为EF的中点,沿AE,EF,FA将正方形折起,使B,C,D重合于点O,在构成的四面体A-OEF中,下列结论中错误的是( )A.AO⊥平面EOFB.直线AH与平面EOF所成的角的正切值为22C.异面直线OH和AE所成的角为60°D.四面体A-OEF的外接球表面积为6π12.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且对任意的实数x都有f'(x)=e-x(2x+3)-f(x)(e是自然对数的底数),且f(0)=1,若关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是( )A.(-e,0]B.[-e2,0)C.[-e,0)D.(-e2,0]二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(2x+1)1-1x6的展开式中的常数项是 . 14.已知数列{an}的首项为3,等比数列{bn}满足bn=an+1an,且b1009=1,则a2018的值为 . 15.如图,在平面四边形ABCD中,∠A=45°,∠B=60°,∠D=150°,AB=2BC=4,则四边形ABCD的面积为 . 16\n16.如图所示,将一圆的八个等分点分成相间的两组,连接每组的四个点得到两个正方形,去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星.设正八角星的中心为O,并且OA=e1,OB=e2,若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成λe1+μe2,λ,μ∈R的形式,则λ+μ的取值范围为 . 三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(2022山东临沂三模,理17)已知等差数列{an}的n项和为Sn,a1=3,公差d>0,且a1,a3-1,a5+1成等比数列.(1)求Sn;(2)若数列{bn}的前n项和为Tn,且bn+bn+1=2Sn,求T2n.18.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,O为AB中点,平面POC⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)求二面角O-PD-C的余弦值.16\n19.1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日,主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们,都能享受阅读带来的乐趣,都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们,都能保护知识产权.”为了解大学生课外阅读情况,现从某高校随机抽取100名学生,将他们一年课外阅读量(单位:本)的数据,分成7组[20,30),[30,40),…,[80,90),并整理得到如图频率分布直方图:(1)估计其阅读量小于60本的人数;(2)已知阅读量在[20,30),[30,40),[40,50)内的学生人数比为2∶3∶5.为了解学生阅读课外书的情况,现从阅读量在[20,40)内的学生中随机选取3人进行调查座谈,用X表示所选学生阅读量在[20,30)内的人数,求X的分布列和数学期望;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组(只需写出结论).16\n20.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,与y轴正半轴交于点B,若△BF1F2为等腰直角三角形,且直线BF1被圆x2+y2=b2所截得的弦长为2.(1)求椭圆的方程;(2)直线l与椭圆交于点A,C,线段AC的中点为M,射线MO与椭圆交于点P,点O为△PAC的重心,探求△PAC的面积S是否为定值,若是求出这个值,若不是,求S的取值范围.21.设函数f(x)=x-ln(x+1+x2).(1)探究函数f(x)的单调性;(2)若x≥0时,恒有f(x)≤ax3,试求a的取值范围;(3)令an=19126n+ln122n+1+(12) 4n(n∈N*),试证明:a1+a2+…+an<13.16\n22.在直角坐标系xOy中,直线l的方程是x=22,曲线C的参数方程为x=2cosα,y=2+2sinα(α为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)射线OM:θ=β其中0<β≤5π12与曲线C交于O,P两点,与直线l交于点M,求|OP||OM|的取值范围.23.设函数f(x)=|2x-1|.(1)设f(x)+f(x+1)<5的解集为A,求集合A;(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数,且a+b+c=m(其中a,b,c为正实数),求证:1-aa·1-bb·1-cc≥8.16\n参考答案仿真模拟练1.B 解析∵P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Q=(-2,3),∴P∩Q={1,2}.故选B.2.D 解析由iz=-1+i,得z=-1+ii=(-1+i)(-i)-i2=1+i,z=1-i,∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限,故选D.3.A 解析若C的方程为x2-y24=1,则a=1,b=2,渐近线方程为y=±bax,即为y=±2x,充分性成立.若渐近线方程为y=±2x,则双曲线方程为x2-y24=λ(λ≠0),∴“C的方程为x2-y24=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的充分而不必要条件,故选A.4.D 解析∵2m>2n>1,∴m>n>0,可排除选项A,B;当1>m-n>0时,选项C错误;由m>n>0得m-n>0,∴πm-n>1,选项D正确.5.D 解析从三视图中提供的图形信息与数据信息可知:该几何体的底面是圆心角为2π3的扇形,高是4的圆锥体.容易算得底面面积S=13π×4=4π3,所以其体积V=13×13π×4×4=16π9,故选D.6.B 解析任意(x,y)落在边长为1的正方形内,满足x2+y2<1的点在四分之一圆,∴x2+y2<1发生的概率为P=π41=π4,当输出结果m=786时,x2+y2<1发生的概率为P=7861000,∴7861000=π4,即π=3.144,故选B.7.B 解析因为函数y=f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π4,所以函数的周期为π2,∴ω=2πT=4,∴f(x)=sin(4x+φ),16\n将函数y=f(x)的图象向左平移3π16个单位后,得到函数y=sin4x+3π16+φ的图象,∵图象关于y轴对称,∴4×3π16+φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ-π4,k∈Z,又|φ|<π2,∴φ=-π4,∴f(x)=sin4x-π4,令4x-π4=kπ,k∈Z,解得x=kπ4+π16,k∈Z,k=0时,得f(x)的图象关于点π16,0对称,令4x-π4=kπ+π2,k∈Z可验证C,D两项均错误.故选B.8.C 解析将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列共有A33=6种排法,再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排),有A32=6种排法,则后六场的排法有6×6=36种,故选C.9.B 解析可设F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',根据椭圆的对称性可得四边形AFBF'是平行四边形,∴6=|AF|+|BF|=|AF'|+|AF|=2a,∴a=3,取M(0,b),∵点M到直线l的距离不小于85,∴|4b|32+42≥85,解得b≥2,e2=9-b29≤59,∴e≤53,∴椭圆E的离心率的取值范围是0,53,故选B.10.C 解析作出y≤x,x+y≥2,y≥3x-6表示的可行域,如图所示.16\n变形目标函数,z=3x-yx2+y2=2(3,-1)·(x,y)(3)2+(-1)2·x2+y2=2cosθ,其中θ为向量a=(3,-1)与b=(x,y)的夹角,由图可知,b=(2,0)时θ有最小值π6,b=(x,y)在直线y=x上时,θ有最大值π6+π4=5π12,即π6≤θ≤5π12,∴z≤2cosπ6=3,目标函数z=3x-yx2+y2的最大值为3,故选C.11.C 解析如下图,翻折前,AB⊥BE,AD⊥DF,故翻折后,OA⊥OE,OA⊥OF,又OE∩OF=O,∴OA⊥平面EOF.故A正确;连接OH,AH,则∠OHA为AH与平面EOF所成的角,∵OE=OF=1,H是EF的中点,OE⊥OF,∴OH=12EF=22.又OA=2,∴tan∠OHA=OAOH=22,故B正确;取AF的中点P,连接OP,HP,则PH∥AE,∴∠OHP为异面直线OH和AE所成角,∵OE=OF=1,OA=2,∴OP=12AF=52,PH=12AE=52,OH=12EF=22,16\n∴cos∠OHP=54+12-542×52×22=1010,故C错误;由OA,OE,OF两两垂直可得棱锥的外接球也是棱长为1,1,2的长方体的外接球,∴外接球的半径r=1+1+42=62,故外接球的表面积为S=4πr2=6π,故D正确.故选C.12.A 解析由题意可知,[f(x)+f'(x)]ex=2x+3,即[f(x)ex]'=2x+3,∴f(x)ex=x2+3x+C,f(0)=1⇒C=1,∴f(x)=(x2+3x+1)e-x,由f(x)可以知道f'(x)=-e-x(x2+x-2),f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上递减,在(-2,1)上递增,∴f(x)有极小值f(-2),f(-2)=-e2,f(-1)=-e,f(-3)=e2,且x>1时,f(x)>0,结合f(x)图象,要使关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有两个整数,则f(-1)<m≤0,即-e<m≤0,∴实数m的取值范围是(-e,0],故选A.13.-11 解析1-1x6的展开式通项为Tr+1=C6r(-1)rx-r,∴1-1x6展开式中的常数项为1,x-1项的系数为-C61=-6,∴(2x+1)1-1x6的展开式中的常数项是2×(-6)+1=-11,故答案为-11.14.3 解析∵bn=an+1an,且a1=1,∴b1=a2a1,b2=a3a2,…,bn-1=anan-1,相乘可得ana1=b1b2…bn-1,a2018a1=a20183=b1b2…b2017=(b1b2017)·(b2b2016)…(b1008b1010),∵b1009=1,(b1b2017)=(b2b2016)=…=(b1008b1010)=(b1009)2=1,∴a20183=1,a2018=3,故答案为3.16\n15.6-3 解析连接AC,在△ABC中,AB=2BC=4,∠B=60°,利用余弦定理得:AC2=BC2+AB2-2BC·AB·cos∠B,解得AC=23,∴AB2=AC2+BC2,则△ABC是直角三角形,∴∠DAC=∠DCA=15°,过点D作DE⊥AC,则AE=12AC=3,∴DE=tan15°AE=(2-3)·3·3=23-3,则S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=6-33+23=6-3,故答案为6-3.16.[-1-2,1+2] 解析以O为原点,以OA为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,设圆O的半径为1,则OM=1,过M作MN∥OB,交x轴于N,则△OMN为等腰三角形,∴|ON|=2|OM|=2,∴OM=2OA+OB,此时λ+μ=1+2,同理OE=OA+2OB,此时λ+μ=1+2,OP=-2OA-OB,此时λ+μ=-1-2,OF=-OA-2OB,此时λ+μ=-1-2,在顶点A,B,G,H处,λ+μ=±1,∴λ+μ的最大值为1+2,最小值为-1-2,故答案为[-1-2,1+2].17.解(1)∵a1=3,a1,a3-1,a5+1成等比数列,∴(a3-1)2=a1(a5+1),∴(2+2d)2=3(4+4d),∴d2-d-2=0,∴d=-1或d=2,又d>0,∴d=2,∴Sn=na1+n(n-1)2d=3n+n(n-1)2×2=n2+2n.(2)∵bn+bn+1=2Sn=2n2+2n,∴bn+bn+1=1n-1n+2,当n=1,3,5,…,2n-1时,有b1+b2=1-13,16\nb3+b4=13-15,b5+b6=15-17,…b2n-1+b2n=12n-1-12n+1,∴T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=1-12n+1=2n2n+1.18.(1)证明∵AD∥BC,AB⊥BC,BC=AB=2,AD=3,∴OC=5,OD=10,CD=5,OD2=OC2+DC2,∴OC⊥CD,∴CD⊥平面POC,∴CD⊥PO,∵PA=PB=AB,O为AB中点,∴PO⊥AB,∴PO⊥底面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD.(2)解如图,建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,3),D(-1,3,0),C(1,2,0),∴OP=(0,0,3),OD=(-1,3,0),CP=(-1,-2,3),CD=(-2,1,0),设平面OPD的一个法向量为m=(x1,y1,z1),平面PCD的法向量为n=(x2,y2,z2),由OP·m=0,OD·m=0,可得3z1=0,-x1+3y1=0,取y1=1,得x1=3,z1=0,即m=(3,1,0),由CP·n=0,CD·n=0,可得-x2-2y2+3z2=0,-2x2+y2=0,取x2=3,得y2=23,z2=5,即n=(3,23,5),∴cos<m,n>=m·n|m|·|n|=5310×40=34.故二面角O-PD-C的余弦值为34.16\n19.解(1)100-100×10×(0.04+0.02×2)=20(人).(2)由已知条件可知:[20,50)内的人数为:100-100×10(0.04+0.02+0.02+0.01)=10,[20,30)内的人数为2人,[30,40)内的人数为3人,[40,50)内的人数为5人.X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=C33C20C53=110,P(X=1)=C32C21C53=35,P(X=2)=C31C22C53=310,所以X的分布列为X012P11035310E(X)=0×110+1×35+2×310=65.(3)估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第五组.20.解(1)由△BF1F2为等腰直角三角形可得b=c,直线BF1:y=x+b被圆x2+y2=b2所截得的弦长为2,所以a=2,b=c=2,所以椭圆的方程为x24+y22=1.(2)若直线l的斜率不存在,则S=12·6·3=362.若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),即x24+y22=1,y=kx+m,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0.则x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2(m2-2)1+2k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2,由题意点O为△PAC重心,设P(x0,y0),则x1+x2+x03=0,y1+y2+y03=0,所以x0=-(x1+x2)=4km1+2k2,y0=-(y1+y2)=-2m1+2k2,代入椭圆x24+y22=1,得4k2m2(1+2k2)2+2m2(1+2k2)2=1,整理得m2=1+2k22,设坐标原点O到直线l的距离为d,则△PAC的面积S=12|AC|·3d16\n=121+k2|x1-x2|·3|m|1+k2=32|x1-x2|·|m|=32(-4km1+2k2) 2-4·2(m2-2)1+2k2·|m|=32·222(1+2k2)-m21+2k2·|m|=32·2(1+2k2)-1+2k221+2k2·1+2k22=362.综上可得△PAC的面积S为定值362.21.(1)解函数f(x)的定义域为R.由f'(x)=1-11+x2≥0,知f(x)是实数集R上的增函数.(2)解令g(x)=f(x)-ax3=x-ln(x+1+x2)-ax3,则g'(x)=1+x2(1-3ax2)-11+x2,令h(x)=1+x2(1-3ax2)-1,则h'(x)=(1-6a)x-9ax31+x2=x[(1-6a)-9ax2]1+x2.①当a≥16时,h'(x)≤0,从而h(x)是[0,+∞)上的减函数,注意到h(0)=0,则x≥0时,h(x)≤0,所以g'(x)≤0,进而g(x)是[0,+∞)上的减函数,注意到g(0)=0,则x≥0时,g(x)≤0时,即f(x)≤ax3.②当0<a<16时,在0,1-6a9a上,总有h'(x)>0,从而知,当x∈0,1-6a9a时,f(x)>ax3;③当a≤0时,h'(x)>0,同理可知f(x)>ax3.综上,所求a的取值范围是16,+∞.(3)证明在(2)中,取a=19,则x∈0,33时,x-ln(x+1+x2)>19x3,即19x3+ln(x+1+x2)<x,取x=122n,an=19126n+ln122n+1+(12) 4n<14n,则a1+a2+…+an<14(1-(14) n)1-14<13.22.解(1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴直线l的极坐标方程是ρcosθ=22,由x=2cosα,y=2+2sinα,消参数得x2+(y-2)2=4,16\n∴曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ.(2)将θ=β分别代入ρ=4sinθ,ρcosθ=22,得|OP|=4sinβ,|OM|=22cosβ,∴|OP||OM|=22sin2β,∵0<β≤5π12,∴0<2β≤5π6,∴0<22sin2β≤22,∴|OP||OM|的取值范围是0,22.23.(1)解f(x)+f(x+1)<5即|2x-1|+|2x+1|<5,当x<-12时,不等式化为1-2x-2x-1<5,∴-54<x<-12;当-12≤x≤12时,不等式化为1-2x+2x+1<5,不等式恒成立;当x>12时,不等式化为2x-1+2x+1<5,∴12<x<54.综上,集合A=x-54<x<54.(2)证明由(1)知m=1,则a+b+c=1.则1-aa=b+ca≥2bca,同理1-bb≥2acb,1-cc≥2abc,则1-aa·1-bb·1-cc≥2abc·2acb·2bca=8,即M≥8.16
