星期二 (概率统计与立体几何) 2022年____月____日1．概率统计知识(命题意图：考查独立重复试验的概率以及互斥事件的概率求解．)现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为，设“这4个人恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4)，则P(Ai)＝C·.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C＝.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C·＋C＝，所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.所以ξ的分布列是ξ024P∴随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝.2．立体几何知识(命题意图：考查线面的位置关系，以及空间向量法求线面角、面面角等．)3\n如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E、G分别为PC、CB的中点，F是PD上的点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.(1)若F是PD的中点，求证：AP∥平面EFG；(2)当二面角G-EF-D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值．(1)证明 F是PD的中点时，EF∥CD∥AB，EG∥PB，∴AB∥平面EFG，PB∥平面EFG，AB∩PB＝B，∴平面PAB∥平面EFG，AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG.(2)解 建立如图所示的坐标系，则有G(1，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，设F(0，0，a)，＝(－1，－2，a)，＝(－1，－1，1)，设平面EFG的法向量n1＝(x，y，1)，则有解得∴n1＝(2－a，a－1，1)．取平面EFD的法向量n2＝(1，0，0)，依题意，cos〈n1，n2〉＝＝，∴a＝1，于是＝(－1，－2，1)．设平面PBC的法向量n3＝(m，n，1)，＝(0，2，－2)，＝(－2，0，0)，则有解得∴n3＝(0，1，1)．3\n设FG与平面PBC所成角为θ，则有sinθ＝|cos〈，n3〉|＝＝，故有cosθ＝.即FG与平面PBC所成角的余弦值为.3
