星期二 (立体几何、概率与统计) 2022年____月____日1.立体几何知识(命题意图：考查平面图形的折叠，线线、线面、面面垂直关系的转化以及三棱锥体积的求解.)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，BE.(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)求三棱锥A－BDE的体积.(1)证明 在题图1中，∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵CD为∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD＝30°，∴CD＝2.∵CE＝4，∠DCE＝30°，由余弦定理可得DE＝2.则CD2＋DE2＝EC2，∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.又∵在题图2中，平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面BCD.(2)解 如图，过点B作BH⊥CD于点H，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，BH⊂平面BCD，∴BH⊥平面ACD.在图1中，由条件得BH＝.∴三棱锥A－BDE的体积VA－BDE＝VB－ADE＝S△ADE·BH＝××2×2sin120°×＝.2.概率与统计知识(命题意图：考查根据茎叶图求数字特征(平均数、中位数)以及古典概型概率的求解.)我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：空气污染指数空气质量空气污染指数空气质量2\n0～50优201～250中度污染51～100良251～300中度重污染101～150轻微污染>300重污染151～200轻度污染我们把某天的空气污染指数在0～100时称作A类天，101～200时称作B类天，大于200时称作C类天.如图是从某市2022年全年的监测数据中随机抽取的18天数据的样本茎叶图(百位为茎，十、个位为叶).(1)计算这18天样本数据的平均数和中位数；(2)从A类天和B类天中任取两天，求至少一天是A类天的概率.解 (1)18天的数据总和为32＋68＋90＋100×5＋12＋38＋67＋73＋90＋200×5＋12＋38＋52＋78＋80＋300×3＋30＋47＋63＋400×2＋67＋93＝4230.所以这些数据的平均数为4230÷18＝235.从小到大第9，10个数为212，238，所以中位数是225.(2)A，B类天共8天，设它们为A1，A2，A3；B1，B2，B3，B4，B5.从A类天和B类天中任取两天的所有情况有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，B5)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，B5)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B3，B4)，(B3，B5)，(B4，B5)，共有28种.其中，至少有一天是A类天的取法数为18种，所以至少有一天是A类天的概率为.2
