星期二 (立体几何与概率统计) 2022年____月____日1．立体几何知识(命题意图：以四棱锥为载体考查线面、面面垂直的转化，考查由二面角的大小求边长的比．考查空间向量方法的应用．)已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD＝120°，PA＝b.(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O-PM-D的正切值为2，求a∶b的值．(1)证明 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，从而平面PBD⊥平面PAC.(2)解 如图，以A为原点，AD，AP所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，b)，D(0，a，0)，M，O.从而＝(0，a，－b)，＝，＝.因为BD⊥平面PAC，所以平面PMO的一个法向量为＝.设平面PMD的法向量为n＝(x，y，z)，由⊥n，⊥n得取x＝b，y＝b，z＝a，即n＝.设与n的夹角为θ，3\n从而|tanθ|＝2，得|cosθ|＝，|cosθ|＝＝＝，整理得4b＝3a，即a∶b＝4∶3.2．概率统计知识(命题意图：考查统计知识与概率知识的综合问题，主要涉及到频率分布直方图中的有关知识以及独立重复事件的概率分布列等．)市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)求直方图中x的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)．解 (1)由直方图可得：20×x＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.0125.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0．003×2×20＝0.12，因为1200×0.12＝144，所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿．(3)X的可能取值为0，1，2，3，4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C＝，P(X＝2)＝C＝，3\nP(X＝3)＝C＝，P(X＝4)＝＝.所以X的分布列为X01234PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1(或E(X)＝4×＝1)．所以X的数学期望为1.3
