星期四 (解析几何) 2022年____月____日解析几何知识(命题意图：考查利用椭圆的几何性质求椭圆方程、直线与椭圆相交、线段垂直平分线方程的求解、求参数范围时不等式的建立等.)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围.解 (1)c＝1，设M，N为短轴的两个三等分点，F为焦点，因为△MNF为正三角形，所以|OF|＝|MN|，即1＝·，解得b＝，a2＝b2＋1＝4，因此椭圆的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标满足方程组将①式代入②式，得3x2＋4(kx＋m)2＝12，整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，此方程有两个不等实根，于是Δ＝(8km)2－4(4k2＋3)·(4m2－12)>0，整理得4k2－m2＋3>0.③由根与系数的关系，可知线段AB的中点坐标(x0，y0)满足x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，从而线段AB的垂直平分线方程为y－＝－·，此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，.由题设可得·＝，整理得m2＝，k≠0，将上式代入③式得4k2－＋3>0，2\n整理得(4k2＋3)(4k2－8|k|＋3)<0，k≠0，解得<|k|<，所以k的取值范围是∪.2
