大题规范天天练（第三周）星期一 (三角与数列) 2022年____月____日1．三角知识(命题意图：考查三角函数知识与解三角形知识的综合应用，主要涉及到三角函数关系式的恒等变换、三角函数的最值、值域求解、正弦定理、余弦定理、面积公式的应用等．)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，函数f(x)＝2cosxsin(x－A)＋sinA(x∈R)在x＝处取得最大值．(1)当x∈时，求函数f(x)的值域；(2)若a＝7且sinB＋sinC＝，求△ABC的面积．解 ∵函数f(x)＝2cosxsin(x－A)＋sinA＝2cosxsinxcosA－2cosxcosxsinA＋sinA＝sin2xcosA－cos2xsinA＝sin(2x－A)．又∵函数f(x)＝2cosxsin(x－A)＋sinA(x∈R)在x＝处取得最大值．∴2×－A＝2kπ＋，其中k∈Z，即A＝－2kπ，其中k∈Z.(1)∵A∈(0，π)，∴A＝，∵x∈，∴2x－A∈，∴－＜sin(2x－A)≤1，即函数f(x)的值域为.(2)由正弦定理得＝，3\n则sinB＋sinC＝sinA，即＝×，∴b＋c＝13.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，即49＝169－3bc，∴bc＝40，故△ABC的面积为S＝bcsinA＝×40×＝10.2．数列知识(命题意图：考查等差数列的性质、前n项和公式、裂项相消法求和、等比数列的性质以及不等式的求解等．)若{an}是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1，n∈N*，数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和．(1)求an和Tn；(2)是否存在正整数m、n(1＜m＜n)，使得T1、Tm、Tn成等比数列？若存在，求出所有m、n的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵{an}是等差数列，∴＝an，∴S2n－1＝×(2n－1)＝(2n－1)an.由a＝S2n－1，得a＝(2n－1)an，又an≠0，∴an＝2n－1.∵bn＝＝＝，∴Tn＝＝＝.(2)假设存在正整数m，n(1＜m＜n)，使T1、Tm、Tn成等比数列，则T＝T1Tn，即＝·.3\n∵＝＜，∴＜，即2m2－4m－1＜0，解得1－＜m＜1＋.∵m∈N*且m＞1，∴m＝2，此时n＝12.∴当且仅当m＝2，n＝12时，T1，Tm，Tn成等比数列．3
