星期一 (三角与数列) 2022年____月____日1.三角知识(命题意图：考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.)在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cosC＋4xsinC＋6≥0对一切实数x恒成立.(1)求cosC的取值范围；(2)当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状.解 (1)当cosC＝0时，sinC＝1，原不等式即为4x＋6≥0对一切实数x不恒成立.当cosC≠0时，应有∴解得cosC≥或cosC≤－2(舍去).∵C是△ABC的内角，∴≤cosC<1.(2)∵0<C<π，≤cosC<1，∴∠C的最大值为，此时c＝＝，∴6＝a＋b＋c＝a＋b＋≥2＋＝3，∴ab≤4(当且仅当a＝b时取“＝”).∴S△ABC＝absin≤(当且仅当a＝b时取“＝”).此时，△ABC面积的最大值为，△ABC为等边三角形.2.数列知识(命题意图：考查等差数列的性质、前n项和公式、裂项相消法求和、等比数列的性质以及不等式的求解等.)若{an}是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1，2\nn∈N*，数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求an和Tn；(2)是否存在正整数m、n(1＜m＜n)，使得T1、Tm、Tn成等比数列？若存在，求出所有m、n的值；若不存在，请说明理由.解 (1)∵{an}是等差数列，∴＝an，∴S2n－1＝×(2n－1)＝(2n－1)an.由a＝S2n－1，得a＝(2n－1)an，又an≠0，∴an＝2n－1.∵bn＝＝＝，∴Tn＝＝＝.(2)假设存在正整数m，n(1＜m＜n)，使T1、Tm、Tn成等比数列，则T＝T1Tn，即＝·＝.∵＝＜，∴＜，即2m2－4m－1＜0，解得1－＜m＜1＋.∵m∈N*且m＞1，∴m＝2，此时n＝12.∴当且仅当m＝2，n＝12时，T1，Tm，Tn成等比数列.2
