大题规范天天练（第四周）星期一 (三角与数列) 2022年____月____日1．三角知识(命题意图：考查解三角形的知识与数列知识的交汇问题，主要涉及正弦定理、余弦定理以及等差中项的应用．)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．(1)若·＝，b＝，求a＋c的值；(2)求2sinA－sinC的取值范围．解 (1)因为A，B，C成等差数列，所以B＝.因为·＝，即accosB＝，所以ac＝，即ac＝3，因为b＝，b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3，所以(a＋c)2＝12，所以a＋c＝2.(2)由(1)知2sinA－sinC＝2sin－sinC＝2－sinC＝cosC.因为0＜C＜，所以cosC∈，所以2sinA－sinC的取值范围是.2．数列知识(命题意图：考查等差、等比数列的性质及基本运算，考查分组求和、公式求和、错位相减法求和等．)已知数列{an}是首项a1＝1的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是首项b1＝2的等比数列，且b2S2＝16，b1b3＝b4.(1)求an和bn；2\n(2)令c1＝1，c2k＝a2k－1，c2k＋1＝a2k＋kbk(k＝1，2，3…)，求数列{cn}的前2n＋1项和T2n＋1.解 (1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则an＝1＋(n－1)d，bn＝2qn－1.由b1b3＝b4，得q＝＝b1＝2.由b2S2＝2q(2＋d)＝16，解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝2n.(2)∵T2n＋1＝c1＋a1＋(a2＋b1)＋a3＋(a4＋2·b2)＋…＋a2n－1＋(a2n＋nbn)＝1＋S2n＋(b1＋2b2＋…＋nbn)．令A＝b1＋2b2＋…＋nbn，则A＝2＋2·22＋…＋n·2n，∴2A＝22＋2·23＋…＋n·2n＋1，两式相减，得－A＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1，∴A＝n·2n＋1－2n＋1＋2.又S2n＝＝4n2，∴T2n＋1＝1＋4n2＋n·2n＋1－2n＋1＋2＝3＋4n2＋(n－1)·2n＋1.2
