【大高考】（三年模拟一年创新）2022届高考数学复习第二章第二节函数的基本性质文（全国通用）A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·广东佛山模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为( )A．－4B．4C．－6D．6解析 由题意f(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1，f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4.答案 A2．(2022·洛阳市统考)设f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，若f(x)在[－2，0]上单调递减，则使f(a2－a)＜0成立的实数a的取值范围是( )A．[－1，2]B．[－1，0)∪(1，2]C．(0，1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 ∵f(x)是[－2，2]上的奇函数，∴f(0)＝0，f(a2－a)＜0＝f(0)，又∵f(x)在[－2，0]上单调递减，∴f(x)在[0，2]也单调递减，故即a∈[－1，0)∪(1，2]．答案 B3．(2022·杭州模拟)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是( )解析 因为f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的偶函数，结合选项中的图象得出正确的答案为B.答案 B4．(2022·东北四校联考)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( )A.B.8\nC.D.解析 y＝lnt在(0，＋∞)上为增函数，而t＝4＋3x－x2＝－(x－)2＋在(－∞，]上为增函数，在上为减函数，又t＞0，即x2－3x－4＜0，－1＜x＜4，故f(x)在(－1，]上为增函数，在上为减函数．答案 D5．(2022·荆州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[0，1)上单调递增，记a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a＞b＝cB.b＞a＝cC．b＞c＞aD．a＞c＞b解析 依题意得，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，f(2)＝f(0)＝0，又f(3)＝－f(2)＝0，且f(x)在[0，1)上是增函数，于是f()＞f(0)＝f(2)＝f(3)，即a＞b＝c.答案 A6．(2022·广东广州二测)函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是( )A.B．(－∞，0)∪C．[，1]D．[，＋1]解析 由于0＜a＜1，y＝logax是减函数，要求f(logax)的减区间，则0≤logax≤，∴≤x≤1.答案 C二、填空题7．(2022·南京模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，8\n＋∞)上是单调递增函数，如果实数t满足f(lnt)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________．解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(lnt)＝f，由f(lnt)＋f≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)，又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|lnt|≤1，－1≤lnt≤1，故≤t≤e.答案 三、解答题8．(2022·陕西汉中5月模拟)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解 ∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1.(1)∵f(1)>0，∴a－>0，又a>0且a≠1，∴a>1.∵k＝1，∴f(x)＝ax－a－x，当a>1时，y＝ax和y＝－a－x在R上均为增函数，∴f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，∴x>1或x<－4，∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．(2)∵f(1)＝，∴a－＝，8\n即2a2－3a－2＝0，∴a＝2或a＝－(舍去)，∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2，令t＝h(x)＝2x－2－x(x≥1)，则g(t)＝t2－4t＋2.∵t＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，∴h(x)≥h(1)＝，即t≥.g(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，t∈，∴当t＝2时，g(t)取得最小值－2，即g(x)取得最小值－2，此时x＝log2(1＋)，故当x＝log2(1＋)时，g(x)有最小值－2.一年创新演练9．偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f(ax－1)＜f(2＋x2)恒成立，则实数a的取值范围为( )A．(－2，2)B．(－2，2)C．(－2，2)D．(－2，2)解析 由于函数为偶函数，因此f(ax－1)＝f(|ax－1|)，f(ax－1)＜f(2＋x2)⇔f(|ax－1|)＜f(2＋x2)，据已知单调性可得f(|ax－1|)＜f(2＋x2)⇔|ax－1|＜2＋x2，据题意可得不等式|ax－1|＜2＋x2恒成立，即－(2＋x2)＜ax－1＜2＋x2⇔恒成立，据二次函数知识可知解得－2＜a＜2，故选B.答案 B10．若函数f(x)＝cosx＋2xf′，则f与f的大小关系是( )8\nA．f＝fB．f＞fC．f＜fD．不确定解析 由题意得f′(x)＝－sinx＋2f′，∴f′＝－sin＋2f′，解得f′＝，∴f′(x)＝－sinx＋1≥0，∴f(x)＝cosx＋x是R上的增函数，∵－＜，∴f＜f，故选C.答案 C8\nB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题11．(2022·云南省名校统考)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1，0)时f(x)＝2x＋，则f(log220)＝( )A．－1B.C．1D．－解析 ∵x∈(0，1)，－x∈(－1，0)，∴f(－x)＝2－x＋＝－f(x)，即f(x)＝－2－x－，x∈(0，1)．由f(x－2)＝f(x＋2)，可得f(x)＝f(x－4)．∵4＜log220＜5，∴0＜log220－4＜1，∴f(log220)＝f(log220)＝f(log220－4)＝－2－(log220－4)－＝－1.答案 A12．(2022·绵阳市一诊)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，记a＝，b＝，c＝，则( )A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a解析 因为对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，即对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＝＜0，所以函数h(x)＝是(0，＋∞)上的减函数，因为0.22＜20.2＜log25，所以b＞a＞c，故选C.答案 C二、填空题13．(2022·湖南长沙二模)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1＜x2≤3时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0，则f(2011)，f(2012)，f(2013)从大到小的顺序为________．解析 由②知f(x)的周期为4，由③知f(x)在[1，3]上为减函数，∴f(2011)＝f(3)，f(2012)＝f(0)＝f(2)，f(2013)＝f(1)，8\n∴f(1)＞f(2)＞f(3)，即f(2013)＞f(2012)＞f(2011)．答案 f(2013)＞f(2012)＞f(2011)14．(2022·山东青岛模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)．已知当x∈[0，1]时，f(x)＝，则①2是f(x)的周期；②f(x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；③f(x)的最大值为1，最小值为0；④当x∈(3，4)时，f(x)＝.其中正确命题的序号是________．解析 由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2，①正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝()1＋x，函数y＝f(x)的图象如图所示，则②正确，③错误；当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f(x)＝f(x－4)＝，④正确．答案 ①②④三、解答题15．(2022·天津汉沽二模)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)，显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)＝x2＋(x≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f′(x)＝2x－＝，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数；当a>0时，令f′(x)＝>0，解得x>，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知≤2，解得0<a≤16.综上，实数a的取值范围是(－∞，16]．一年创新演练8\n16．已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝4＋3cosx，x∈(－1，1)，且f(0)＝0，如果f(1－a)＋f(1－a2)＜0，则实数a的取值范围是( )A．(1，)B．(0，1)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 f′(x)＝4＋3cosx＞0在(－1，1)上恒成立，∴f(x)在(－1，1)上为增函数，又f′(x)为偶函数，则f(x)为奇函数，由f(1－a)＋f(1－a2)＜0，得f(1－a2)＜f(a－1)，则－1＜1－a2＜a－1＜1，∴a∈(1，)．答案 A17．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，＞0，给出如下命题：①f(3)＝0；②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④函数y＝f(x)在[－9，9]上有四个零点，其中所有正确命题的序号为( )A．①②B．②④C．①②③D．①②④解析 依题意可得f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝0，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；由①知f(x＋6)＝f(x)，即函数f(x)是以6为周期的周期函数，则f(x－6)＝f(x＋6)．又f(x)＝f(－x)，因此有f(x－6)＝f(－6－x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝－6对称，②正确；依题意知，函数f(x)在[0，3]上是增函数，则函数f(x)在[－3，0]上是减函数，又函数f(x)是以6为周期的周期函数，因此函数y＝f(x)在[－9，－6]上是减函数，③不正确；结合函数y＝f(x)的图象可知f(－9)＝f(9)＝f(3)＝f(－3)＝0，故函数y＝f(x)在[－9，9]上有四个零点，④正确．综上所述，其中所有正确命题的序号为①②④，选D.答案 D8
