考点 函数的零点与方程的根1．(2022·山东，10)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是( )A.B．[0，1]C.D．[1,＋∞)解析 当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝时，f(a)＝f＝3×－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝满足题意，排除D选项，故答案为C.答案 C2．(2022·天津，8)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )A.B.C.D.解析 记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：y＝x－4，当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时，由解得b′＝－，－－(－4)＝，所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当＜b＜2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f(x)－g(x)恰有4个零点．选D.答案 D6\n3．(2022·湖南，10)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A.B.C.D.解析 由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－有正解，即e－x－ln(x＋a)－＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－，则F′(x)＝－e－x－<0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－≥0，所以a≤ee－x－－x，又y＝ee－x－－x在(0，＋∞)上单调递减，所以a<ee－0－－0＝e，选B.答案 B4．(2022·重庆，6)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析 由题意a<b<c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.显然f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.答案 A5．(2022·天津，4)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A．0B．1C．2D．3解析 令f(x)＝0，即2x＋x3－2＝0，则2x－2＝－x3.在同一坐标系中分别画出y＝2x－2和y＝－x3的图象，由图可知两个图象在区间(0，1)内只有一个交点，∴函数f(x)＝2x＋x36\n－2在区间(0，1)内有一个零点，故选B.答案 B6．(2022·湖南，15)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．解析 若0≤a≤1时，函数f(x)＝在R上递增，若a＞1或a＜0时，由图象知y＝f(x)－b存在b使之有两个零点，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)7．(2022·安徽，15)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号)．①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.解析 令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要有一根，f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.答案 ①③④⑤8．(2022·江苏，13)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.答案 46\n9．(2022·北京，14)设函数f(x)＝(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．解析 (1)当a＝1时，f(x)＝当x<1时，2x－1>－1.当x≥1时，且当x＝时，f(x)min＝f＝－1，∴f(x)最小值为－1.(2)1°当a≤0时，2x－a>0，由4(x－a)(x－2a)＝0得x＝a或x＝2a.a∉[1，＋∞)，2a∉[1，＋∞)，∴此时f(x)无零点．2°当0<a<1时，若有2个零点，只须∴≤a<1.3°当1≤a<2时，x＜1，2x＝a，x＝log2a∈[0，1)，x≥1时，由f(x)＝0，得x＝a或2a，a∈[1，＋∞)．2a∈[1，＋∞)，有3个零点，不合题意．4°当a≥2时，x<1，则2x－a<0，x≥1时，由f(x)＝0，得x＝a或2a，a，2a∈[1，＋∞)，此时恰有2个零点，综上≤a＜1或a≥2.答案 (1)－1 (2)∪[2，＋∞)10．(2022·陕西，21)已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；(2)设x>0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数；(3)设a<b，比较与的大小，并说明理由．解 (1)f(x)的反函数为g(x)＝lnx．设直线y＝kx＋1与g(x)＝lnx的图象在P(x0，y06\n)处相切，则有y0＝kx0＋1＝lnx0，k＝g′(x0)＝，解得x0＝e2，k＝.(2)曲线y＝ex与y＝mx2的公共点个数等于曲线y＝与y＝m的公共点个数．令φ(x)＝，则φ′(x)＝，∴φ′(2)＝0.当x∈(0，2)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0，2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝.当0<m<时，曲线y＝与y＝m无公共点；当m＝时，曲线y＝与y＝m恰有一个公共点；当m>时，在区间(0，2)内存在x1＝，使得φ(x1)>m，在(2，＋∞)内存在x2＝me2，使得φ(x2)>m(通过证明φ(x2)＝>x2即可)．由φ(x)的单调性知，曲线y＝与y＝m在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x>0时，若0<m<，曲线y＝f(x)与y＝mx2没有公共点；若m＝，曲线y＝f(x)与y＝mx2有一个公共点；若m>，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点．(3)可以证明>.事实上，>⇔>⇔>⇔>1－⇔>1－(b>a)．(*)令φ(x)＝＋－1(x≥0)，6\n则φ′(x)＝－＝＝≥0(当且仅当x＝0时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴x>0时，φ(x)>φ(0)＝0.令x＝b－a，即得(*)式，结论得证．6
