考点一 直线的方程1．(2022·安徽，8)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12解析 圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴＝1.解得b＝2或b＝12，故选D.答案 D2．(2022·福建，6)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0解析 依题意，得直线l过点(0，3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.故选D.答案 D3．(2022·重庆，13)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．解析 将圆化为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心是(1，2)，半径是1，因过原点的直线与圆相交所得的弦长为2，故该直线过圆心，从而得直线方程为2x－y＝0.答案 2x－y＝04．(2022·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解 (1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，4\n由题意得＝1，解得k＝0或k＝－，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.考点二 两直线的位置关系1．(2022·四川，9)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )A．[，2]B．[，2]C．[，4]D．[2，4]解析 易知直线x＋my＝0过定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且两条直线相互垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动，故|PA|＋|PB|＝|AB|cos∠PAB＋|AB|sin∠PAB＝·sin∈[，2]，故选B.答案 B2．(2022·天津，5)已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )A．－B．1C．2D.解析 由题意知点P(2，2)在圆(x－1)2＋y2＝5上，设切线的斜率为k，则k·＝－1，解得k＝－，直线ax－y＋1＝0的斜率为a，其与切线垂直，所以－a＝－1，解得a＝2，故选C.4\n答案 C3．(2022·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.答案 4．(2022·四川，15)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析 由题意可知，若P为平面直角坐标系内任意一点，则|PA|＋|PC|≥|AC|，等号成立的条件是点P在线段AC上；|PB|＋|PD|≥|BD|，等号成立的条件是点P在线段BD上．所以到A，B，C，D四点的距离之和最小的点为AC与BD的交点．直线AC方程为2x－y＝0，直线BD方程为x＋y－6＝0.∴解得即所求点的坐标为(2，4)．答案 (2，4)5．(2022·浙江，12)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________．解析 ∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴1×2＋(－2)·m＝0，即m＝1.答案 16．(2022·安徽，17)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．证明 (1)反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0，此与k1为实数的事实相矛盾．从而k1≠k2.即l1与l2相交．(2)法一 由方程组4\n解得交点P的坐标(x，y)为而2x2＋y2＝2＋＝＝＝1.此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．法二 交点P的坐标(x，y)满足故知x≠0.从而代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0.整理后，得2x2＋y2＝1.所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上.4
