【高考领航】2022高考数学总复习8-9圆锥曲线的综合问题练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·扬州调研)已知双曲线x2－＝1的一条渐近线与直线x－2y＋3＝0垂直，则a＝________.解析：由双曲线标准方程特征知a>0，其渐近线方程为x±y＝0，可得渐近线x＋y＝0与直线x－2y＋3＝0垂直，所以a＝4.答案：42．(2022·镇江市质检)以双曲线x2－4y2＝4的中心顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是________．解析：设抛物线的方程为y2＝2px，则由焦点相同的条件可知＝⇒p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.答案：y2＝4x3．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r________.解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝＝.答案：4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的方程为________．解析：设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，a2＝7.8\n∴椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝1.5．已知对∀k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：＋＝1表示椭圆，所以m＞0且m≠5.直线y＝kx－1＝0恒过定点P(0,1)，则P在椭圆上或在椭圆内部，≤1，∴m≥1且m≠5.答案：m≥1且m≠56．(2022·苏州调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点，且⊥，则此椭圆的离心率为________．解析：∵AB＝，BF＝a，AF＝a＋c.又∵⊥，∴AB2＋BF2＝AF2，即2a2＋b2＝a2＋c2＋2ac，∴c2＋ac－a2＝0，∴＝.所求的离心率为.答案：7．在直角坐标系xOy中，过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的一条切线(切点为T)交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则OM－MT等于________．解析：设双曲线的右焦点为F1，连结PF1，在△PFF1中M，O分别是PF，FF1的中点，所以OM－MT＝PF1－(PF－TF)＝－(PF－PF1)＋TF＝b－a.答案：b－a二、解答题8．(2022·南京市、盐城市高三模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，－1)椭圆8\nC：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，短轴端点为B1、B2，·＝2b2.(1)求a、b的值；(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ·AR＝3OP2，求直线l的方程．解：(1)因为F(－c,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，所以＝(c，－b)，＝(c，b)．因为·＝2b2，所以c2－b2＝2b2.①因为椭圆C过A(－2，－1)，代入得，＋＝1.②由①②解得a2＝8，b2＝2.所以a＝2，b＝.(2)由题意，设直线l的方程为y＋1＝k(x＋2)．由得(x＋2)[(4k2＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.因为x＋2≠0，所以x＋2＝，即xQ＋2＝.由题意，直线OP的方程为y＝kx.由得(1＋4k2)x2＝8.则x＝.因为AQ·AR＝3OP2.所以|xQ－(－2)|×|0－(－2)|＝3x.即||×2＝3×.解得k＝1，或k＝－2.当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，当k＝－2时，直线l的方程为2x＋y＋5＝0.9．(2022·高考湖南卷)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意为－|x|＝1化简得y2＝2x＋2|x|，当x≥0时，y2＝4x，当x＜0时．y＝0.所以动点P的轨迹C的方程为，y2＝4x(x8\n≥0)和y＝0(x＜0)．(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.设D(x3，y3)，B(x4，y4)，则同理可得：x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1·＝(＋)(＋)＝·＋·＋·＋·＝|·|＋|·|故＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16当且仅当k2＝即k＝±1时，·取最小值16.【B组】一、填空题1．已知曲线－＝1与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为________．解析：将y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.O·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.答案：28\n2．双曲线－y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上且满足PF1＋PF2＝2，则△PF1F2的面积为________．解析：|PF1－PF2|＝2，则PF1·PF2＝2，PF＋PF＝4(n＋1)＝F1F.∴△PF1F2为直角三角形．S△PF1F2＝×2＝1.答案：13．若拋物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和拋物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是________．解析：设所求点的坐标为(x0,6)，则62＝2p，解得p＝2或p＝18.当p＝2时，可求得x0＝9，当p＝18时，可求得x0＝1.答案：1或94．椭圆＋＝1中过点P(1,1)的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是________．解析：设弦的两个端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，代入得＝－.故所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝05．设点P在椭圆＋＝1(a>b>0)上，直线l的方程为x＝－，且点F的坐标为(－c,0)，作PQ⊥l于点Q.若P，F，Q三点构成一个等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：如图，由题意，＝e，又△PFQ为等腰直角三角形，且∠PFQ＝90°，∴e＝.答案：8\n6．(2022·盐城质检)已知椭圆x2＋2y2－2＝0的两个焦点为F1，F2，B为短轴的一个端点，则△BF1F2的外接圆方程是________．解析：F1(－1,0)，F2(1,0)，设B(0,1)，则△BF1F2为等腰直角三角形，故它的外接圆方程为x2＋y2＝1.答案：x2＋y2＝17．已知拋物线y2＝2px(p>0)与椭圆＋＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为________．解析：由题意知，＝c，＝p，∴＝2c，a2－c2＝2ac，∴1－e2＝2e，解得e＝－1.答案：－1二、解答题8．(2022·高考福建卷)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．解：(1)依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12.因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明：由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q为.设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于＝(x0，y0－y1)，＝，8\n由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，所以解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．9．(2022·高考浙江卷)如图，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．(1)求p，t的值；(2)求△ABP面积的最大值．解：(1)由题意知得(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)．由题意知，设直线AB的斜率为k(k≠0)．由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以Δ＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.从而|AB|＝·|y1－y2|＝·.设点P到直线AB的距离为d，则8\nd＝.设△ABP的面积为S，则S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.由Δ＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1.令u＝，0＜u≤，则S＝u(1－2u2)．设S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤，则S′(u)＝1－6u2.由S′(u)＝0，得u＝∈，所以S(u)max＝S＝.故△ABP面积的最大值为.8
