【高考领航】2022高考数学总复习5-5数列求和练习苏教版【A组】一、填空题1.(2022·高考江西卷)观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12……则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为________.解析:通过类比可证20×4=80.答案:802.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1,则数列{}(n∈N*)的前n项和是________.解析:∵f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1,∴m=2,a=1,∴f(x)=x2+x,即f(n)=n2+n=n(n+1),∴数列{},(n∈N*)的前n项和为:Sn=+++…+=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.答案:3.(2022·高考福建卷)数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于________.解析:因cos呈周期性出现,则观察此数列求和规律,列项如下:a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,此4项的和为2.a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8,此4项的和为2.依次类推,得S2012=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a2009+a2010+a2011+a2012)=×2=1006.答案:10067\n4.正方形ABCD的边长是a,依次连结正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形,再依次连结正方形各边中点又得到一个新的正方形,依此得到一系列的正方形.如图所示,现有一只小虫从A点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了10条线段.则这10条线段的长度的平方和是________.解析:小虫爬行的线段长度依次为:,a,a,…,它们的平方依次构成公比为的等比数列.S10==·=a2.答案:a25.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.解析:∵y′=2x,∴k=y′|x=ak=2ak,∴切线方程:y-a=2ak(x-ak),令y=0,得x=ak,即:ak+1=ak,∴{ak}是以首项为16,公比为的等比数列,∴ak=16·n-1,∴a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:216.(2022·高考安徽卷)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=________.解析:记bn=3n-2,则数列{bn}是以1为首项,3为公差的等差数列,所以a1+a2+…+a9+a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5×3=15.答案:157.已知函数f(x)=.求和S=f+f+f+…+f7\n,则S=________.解析:由于f(x)=,所以f(y)=,当x+y=1时,有f(x)+f(y)=+===1,于是f(x)+f(y)=1.因此若令S=f+f+f+…+f,则S=f+f+f+…+f,于是2S=2010=2010,故S=1005.答案:1005二、解答题8.(2022·高考湖北卷)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.解:(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去),故{bn}的第3项为5,公比为2.由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.所以{bn}是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn=·2n-1=5·2n-3.(2)证明:数列{bn}的前n项和Sn==5·2n-2-,即Sn+=5·2n-2,7\n所以S1+=,==2.因此是以为首项,公比为2的等比数列.9.(2022·高考江西卷)已知数列|an|的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.(1)求an;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解:(1)由Sn=kcn-k,得an=Sn-Sn-1=kcn-kcn-1(n≥2),由a2=4,a6=8a3,得kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1).解得,所以a1=S1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n≥2),于是an=2n.(2)Tn=ai=·2i,即Tn=2+2·22+3·23+4·24+…+n·2nTn=2Tn-Tn=-2-22-23-24-…-2n+n·2n+1=-2n+1+2+n·2n+1=(n-1)2n+1+2.【B组】一、填空题1.已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和.若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5=________.解析:由等比数列性质可知:a2·a3=a1·a4,又∵a2·a3=2a1,∴a1·a4=2a1,而a1≠0,∴a4=2.由已知a4+2a7=2×,∴a7=,∴q3==,∴q=,∴a1===16,∴S5===31.答案:312.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=________.解析:由题意设等差数列公差为d,则a1=2,a3=2+2d,a6=2+5d.又∵a1,a3,a67\n成等比数列,∴a=a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),整理得2d2-d=0.∵d≠0,∴d=,∴Sn=na1+d=+n.答案:+n3.数列{an}的通项公式an=,若前n项的和为10,则项数为________.解析:∵an==-,∴Sn=-1=10,∴n=120.答案:1204.已知数列{an}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{bn}=的前n项和Sn=________.解析:由已知条件可得数列{an}的通项公式为an==,∴bn===4.Sn=4=4=.答案:5.(2022·苏州模拟)定义运算:=ad-bc,若数列{an}满足=1且=12(n∈N*),则a3=________,数列{an}的通项公式为an=________.解析:由题意得a1-1=1,3an+1-3an=12即a1=2,an+1-an=4.∴{an}是以2为首项,4为公差的等差数列,∴an=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10.答案:10 4n-26.已知数列{an}:1,,,…,,…,则其前n项和Sn=________.7\n解析:∵an====2,∴Sn=a1+a2+a3+…+an=2=2=.答案:7.数列{an}的通项公式an=,如果bn=,那么{bn}的前n项和为________.解析:bn===-,所以b1+b2+…+bn=-+-+…+-=-1.答案:-1二、解答题8.(2022·江苏南京四星高中四校月考)记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+,S3=12+3.(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn.(2)已知等比数列{bnk},bn+=an,n1=1,n2=3,求nk.(3)问数列{an}中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由.解:(1)因为a1=2+,S3=3a1+3d=12+3,所以d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n+,Sn==n2+(+1)n.(2)因为bn=an-=2n,所以bnk=2nk.又因为数列{bnk}的首项bn1=b1=2,公比q==3,所以bnk=2·3k-1.所以2nk=2·3k-1,则nk=3k-1.(3)假设存在三项ar,as,at成等比数列,则a=ar·at,7\n即有(2s+)2=(2r+)(2t+),整理得(rt-s2)=2s-r-t.若rt-s2≠0,则=,因为r,s,t∈N*,所以是有理数,这与为无理数矛盾;若rt-s2=0,则2s-r-t=0,从而可得r=s=t,这与r<s<t矛盾.综上可知,不存在满足题意的三项ar,as,at.9.(2022·高考安徽卷)设函数f(x)=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}.(1)求数列{xn}的通项公式;(2)设{xn}的前n项和为Sn,求sinSn.解:(1)令f′(x)=+cosx=0,cosx=-,解得x=2kπ±π(k∈Z).由xn是f(x)的第n个正极小值点知,xn=2nπ-π(n∈N*).(2)由(1)可知,Sn=2π(1+2+…+n)-nπ=n(n+1)π-,所以sinSn=sin.因为n(n+1)表示两个连续正整数的乘积,n(n+1)一定为偶数,所以sinSn=-sin.当n=3m-2(m∈N*)时,sinSn=-sin=-;当n=3m-1(m∈N*)时,sinSn=-sin=;当n=3m(m∈N*)时,sinSn=-sin2mπ=0.综上所述,sinSn=7